LinearAlgebra_2
- 列空间和零空间
- 回顾
- 主题
- 例子
- AXb
- 求解AX0
- 回顾
- 主题
- AX0求解的总体思路
- 例子
- 形式化的求解
- AXb
- 什么时候有解
- 有解的话求解
- 特解
- 求出通解
- big picture
- 列满秩
- 行满秩
- 全满秩
- 总结
- 线性相关性基维数
- 回顾
- 主题
- 线性无关
- 最小生成子空间
- 基
- 维数
- 四个基本子空间
- 回顾
- 主题
- 列空间
- 零空间
- 行空间
- 左零空间
- 大图
- 矩阵向量
列空间和零空间
回顾
之前，简单介绍了线性代数的核心——线性空间，包括了线性空间是n维向量的线性组合，特征是对线性组合封闭。 然后介绍了线性子空间，考虑R3R^3的线性子空间。 接着，考虑了AX=bAX=b，考虑了AA的列空间。
主题
向量空间和子空间 列空间 零空间 AX=b的联系
例子
P和U是两个子空间，那么他们的交集肯定还是线性子空间，但是他们的并集不一定是线性子空间。
对于
A=⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥
A= \begin{bmatrix}1 & 1& 2\\2 & 1 & 3\\3 & 1 & 4 \\4 & 1 & 5\end{bmatrix}
列空间是R4\mathbb{R}^4中的二维空间，也就是一条直线。
零空间的含义是AX=0的所有X组成的线性空间，对于A来说，零空间是R3\mathbb{R^3}中的一个平面，零空间也是向量空间哦，同样对线性组合封闭的。
AX=b什么时候有解？ 当且仅当b在A的列空间中。
AX=b
用线性空间的思考方式考虑AX=bAX=b
首先，考虑有没有解，如果bb在AA的列空间中，那么肯定有解，反之无解。
接下来，考虑有几个解，如果AA的零空间是00，那么解只有一个，反之会有很多个，需要求出特解和通解。
最后，考虑如何判断bb在AA的列空间以及AA的零空间是00。 bb在AA的列空间，可以消元看看x有没有解啊。 AA的零空间是00只需要保证AA的各列之间相互独立，也就是不存在A的列的线性组合为0的情况，也就是每一个列对于向量空间RnR^n都有自己的贡献。
求解AX=0
回顾
上文，简单介绍了列空间和零空间。 列空间的作用是，AX=bAX=b有解可以理解成bb在AA的列空间里面。 零空间的作用是，AX=0AX=0的所有解所组成的线性空间。
主题
这里，主要求解AX=0AX=0
需要用到 pivot variable，free variable，pivot variable，free variable，特解，通解,rref指令，null指令。
AX=0求解的总体思路
首先，先求出矩阵A的upper form。 然后求出reduced echelon form。 根据上面，可以判断出主元的个数，主变量，辅助变量等。 挑选固定的辅助变量，主变量的值就被确定下来了，这样就可以解出特解。 通解的话为特解的线性组合。 特解的个数和辅助变量的个数相等。
例子
A =
1 2 2 2
2 4 6 8
3 6 8 10
A2 =A'
1 2 3
2 4 6
2 6 8
2 8 10
rref(A)=
1 2 0 -2
0 0 1 2
0 0 0 0
rref(A2)=
1 0 1
0 1 1
0 0 0
0 0 0由上面可以看到，reduced row echelon form可以通过消元先得到upper form，然后再从下到上得到rref。消元的过程，不会改变零空间，也不会改变AX=0AX=0的解。
从rref中，可以看到很多信息，比如
rref(A)=
1 2 0 -2
0 0 1 2
0 0 0 0- 行3是行1和行2的线性组合
- 列2和列1线性相关，列4和前面的列线性相关
- 矩阵的秩为2，主元的个数为2，
pivot variable，pivot column的个数是2；free variable，free column的个数也是4-2=2。 - 矩阵转置后，
rank不变。
有了rref，下面需要开始求解AX=0AX=0啦。
求解的整体思路是选择free variable，根据约束选择pivot variable，最后把零空间的一个解解出来。
但是零空间不只是只有一个解，有几个free variable就有几个零空间的基底。
零空间，就是特解的线性组合啦。特解的个数是free variable的个数，就是`n- rank
形式化的求解
R=[I0F0]
R= \begin{bmatrix}I & F\\0& 0\end{bmatrix}
RX=0RX=0的解就是UX=0UX=0，是AX=0AX=0的解。
解可以写成
X=[−FI]
X= \begin{bmatrix} -F\\ I \end{bmatrix} 也就是
[−FI]∗[IF]=0
\begin{bmatrix} -F\\ I \end{bmatrix} * \begin{bmatrix}I & F\end{bmatrix} =0
零空间，就是所有不线性相关的特解为列的矩阵。
这样以来，给AX=0AX=0，就可以通过消元得到rref，最后求出零空间，也就是所有AX=0AX=0解。
AX=b
这一章将要完整地解出linear equation，AX=bAX=b。
通过消元，看看是不是有解。 有解的话，看看是不是有唯一解。
x1 + 2*x2 + 2*x3 + 2*x4 = b1
2*x1 + 4*x2 + 6*x3 + 8*x4 = b2
3*x1 + 6*x2 +8*x3 + 10*x4 = b3什么时候有解
上面的式子，因为行相关的，所以要想有解，b必须满足特定的条件。 这点从消元可以看出来。
[A b]=
1 2 2 2 b1
2 4 6 8 b2
3 6 8 10 b3
[A b]=
1 2 2 2 b1
0 0 2 4 b2-2b1
0 0 0 0 b3-b2-b1
% 想要有解b3-b2-b1=0 b=[1,5,6]
>> rref(A)=
1 2 0 -2
0 0 1 2
0 0 0 0b必须存在于矩阵A的列空间中才会有解。 如果矩阵A的变换中出现0行，那么b的组合也必须出现零才有解，如果不出现0行的话那么肯定有解。 也就是说b必须和A的各列存在线性组合，也就是说当加上b的时候矩阵的秩应该增加0的，如果增加1那么说明b不能和A的各列线性组合，所以无解。
有解的话求解
特解
start by finding one solution
先求特解，把free variable都设置为0，把pivot variable解出来。
[A b]=
1 2 2 2 b1
2 4 6 8 b2
3 6 8 10 b3
[A b]=
1 2 2 2 b1
0 0 2 4 b2-2b1
0 0 0 0 b3-b2-b1
>> rref(A)=
1 2 0 -2
0 0 1 2
0 0 0 0
b1,b2,b3 = 1,5,6
令x2 = x4 = 0
求解
x1 + 2x3 = 1
2*x3=3
所以得到特解
[-2 0 3/2 0]求出通解
特解求出来后，就可以加上零空间构成通解。
X=Xp+Xn
X=X_p+X_n
AXp=b
AX_p=b
AXn=0
AX_n=0
通解为
Xcomplete=⎡⎣⎢⎢⎢−203/20⎤⎦⎥⎥⎥+c1∗⎡⎣⎢⎢⎢−2100⎤⎦⎥⎥⎥+c2∗⎡⎣⎢⎢⎢20−21⎤⎦⎥⎥⎥
X_{complete}= \begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix} + c1* \begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix} + c2* \begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}
图形理解
R4\mathbb{R^4}构成了四维空间，零空间表示这个四维空间经过原点的平面的线性空间。 特解指定了这个平面经过的点。
算法，通过消元，将free variable置为0，找到特解。
然后根据[I F][-F I ]’=0，求出零空间。
特解加上零空间构成了通解。
big picture
特解加上零空间构成的平面组成了通解。
m by n matrix A of rank r
I know always:
- r<=m
- r<=n
考虑满秩的情况
列满秩
列满秩，r==n，这对方程组意味着什么 ，特解零空间和通解分别会怎么样？
ans =
1 0
0 1
0 0
0 0A:
说明列都线性不相关，free variable为0，零空间只有0，方程组如果有解（需要结合b）只有一个。
方程组的解有0个或者1个。
行满秩
行满秩，r==m，这对方程组意味着什么 ，特解零空间和通解分别会怎么样？
A:
零空间肯定不只是0是n-r，解肯定存在并且不止一个。（因为没有了b的限制条件了啊，并且零空间不只是0啊）
ans =
1.0000 0 -0.8000 -0.6000
0 1.0000 3.4000 2.8000全满秩
行满秩，r==m，这对方程组意味着什么 ，特解零空间和通解分别会怎么样？
A: 肯定是一个可逆矩阵，行列式不为0，存在一个特解。 R=iR=i
总结
矩阵的秩包含了矩阵解的所有信息，可以根据矩阵的秩判断解的情况与个数。
线性相关性，基，维数
回顾
前面，解决了线性方程组AX=bAX=b是否有解，有解的话是多少的问题。
主题
linear dependence spanning a space base and dimension
需要注意的是，上面这些都是形容bunch of vectors的。
线性无关
向量x1,x2,xn什么时候是线性无关的呢？ A: 如果只有系数为0的线性组合才能得到0，那么是线性无关的。
这就是看他的零空间啊。如果零空间不只是0，那么肯定是线性相关的，因为存在不为0的系数使得他们的线性组合是0。
矩阵的列无关，那么矩阵的列等于rank(A)。 将向量组的相关性和矩阵的秩联系在一起了（向量当做矩阵的列）。
最小生成子空间
spanning a space: 这个空间包含了vector的所有线性组合。 vector的线性组合是这个vector集合的最小生成子空间。
特定最小生成子空间的向量集中向量的个数有限制么？有一个最小值的限制。
基
向量空间的基就是
- 线性无关的
- 生成整个子空间 spanning space
也就是，向量的个数正好生成子空间，不多不少。
针对一个向量空间，不管是列空间，行空间，零空间，他们的基可能有很多个组合，但是确定的是基的个数是一定的。
基就是生成空间的最小的向量个数的向量集。
维数
确定的是基的个数是一定的。这个个数就是维数。
矩阵的秩等于矩阵主元的个数等于矩阵的列生成空间的维数。
dim(C(A))=r
dim(C(A)) = r
dim(Null(A))=n−r
dim(Null(A))=n-r
四个基本子空间
回顾
上文，讨论了向量组线性无关的条件，其组成列的矩阵的零空间只有0这样说明线性无关。 向量组合可以生成空间，生成空间的最小数目的向量是这个空间的基，基的个数等于这个空间的维数。
主题
四个基本子空间
线性代数的核心，研究每个子空间，都需要知道这个子空间是属于那个大的空间的，它的维数是多少，它的一组基是多少。
列空间
C(A)∈Rm
C(A) \in \mathbb{R}^m
dim(C(A))=r
dim(C(A)) = r
base=原矩阵A线性无关的r列
base=原矩阵A线性无关的r列
注意行变换会影响列空间的。
零空间
N(A)∈Rn
N(A) \in \mathbb{R}^n
dim(N(A))=n−r
dim(N(A)) = n-r
base=[−FI]
base=\begin{bmatrix}-F \\I\end{bmatrix} 研究列的线性组合怎么样为0
行空间
C(AT)∈Rn
C(A^T) \in \mathbb{R}^n
dim(C(AT))=r
dim(C(A^T)) = r
base=RREF的前r行
base=RREF的前r行
行变换不影响行空间。
左零空间
叫左零空间的原因是： ATy=0A^Ty = 0 yTA=0y^TA=0
N(AT)∈Rm
N(A^T) \in \mathbb{R}^m
dim(N(AT))=m−r
dim(N(A^T)) = m-r
base=行变换到RREF的初等变换矩阵E的倒数m−r行
base = 行变换到RREF的初等变换矩阵E的倒数m-r行
研究左零空间的基，回顾E[A，I]=[R，E]E[A，I] = [R ，E]求出EE
大图
- RnR^n中存在行空间，零空间，并且维度加起来等于n。
- RmR^m中存在列空间，左零空间，并且维度加起来等于m。
行变换不影响行空间，但是影响了列空间，行变换后的列空间和之前的不一样。
矩阵向量
把3*3的矩阵当成向量。 所有3*3的矩阵的集合就构成了一个新的向量空间，满足向量空间的八条规律。对线性组合封闭。
那么，这个向量空间的子空间是什么呢？ A: 上三角矩阵，对称矩阵，以及前面两个的交集对角矩阵。
这样的话就把向量空间从RnR^n扩充到Rm∗nR^{m*n}上了。