生产者理论概述

先前介绍了消费者理论，本文将简要介绍生产者理论。 通过模型去拟合消费者和生产者的行为，然后在市场的大背景下去分析市场行为，这些构成了微观经济学的基本骨架。

公司模型

‘ 基本假设：

1. 公司追求利益最大化
2. 公司的生产受到技术因素的限制
3. 公司的销售（经济活动）受到市场的限制
4. 静态模型，确定性的模型，不考虑创新和管理因素

技术限制

生产函数

公司的生产考虑输入和输出。输入包括：k,lk,l，输出是F(k,l)F(k,l)，函数如下：

F(k,l)=q

F(k,l) = q

1. k=capitalk=capital，包括必要的机器建筑
2. l=laborl=labor，包括必要的劳动力

生产函数的特点

定义几个概念：

• isoquants：F(k,l)=qF(k,l) = q中qq不同的等高线
• Margin Product of capital：MPK=∂F∂kMPK=\frac{\partial F}{\partial k}
• Margin Product of labor: MPL=∂F∂lMPL = \frac{\partial F}{\partial l}

下面说下性质：

1. MPL,MPK>0MPL,MPK>0，这个性质很直观，增加capital或者增加labor都会增加产量。
2. eventually decreasing return to scale (DRS): 用数学表达是如果kk足够大，那么∂∂kMPK<0\frac{\partial}{\partial k} MPK<0，对于ll亦然。也就是说在生产规模足够大的前提下，如果继续增加生产要素，那么所获得的产量的增长速度越来越慢。这一条保证了最优产量的存在。

生产函数的分类

生产函数，具体分为以下几类：

1. CRS，constant return to scale，对于λ>0\lambda >0，对于所有的(k,l)(k,l)，都有F(λk,λl)=λF(k,l)F(\lambda k, \lambda l) = \lambda F(k,l)。
2. DRS，decrease return to scale，对于λ>1\lambda >1，对于所有的(k,l)(k,l)，都有F(λk,λl)<λF(k,l)F(\lambda k, \lambda l) < \lambda F(k,l)。
3. IRS，increase return to scale，对于λ>1\lambda >1，对于所有的(k,l)(k,l)，都有F(λk,λl)>λF(k,l)F(\lambda k, \lambda l) > \lambda F(k,l)。
4. 上面这些分类都是全局的性质，是对于所有的(k,l)(k,l)。但是也有生产函数并不属于上面这些类型。

常用的生产模型

柯布道格拉斯生产函数

Cobb-Douglas在应用经济学领域用的很多。

s.t.F(k,l)=AkαlβA,α,β>0

\begin{split} &F(k,l) = Ak^{\alpha} l^{\beta} \\ s.t. &A,\alpha,\beta>0 \end{split}

并且其有下面的独特性质：

• 如果α+β=1\alpha+\beta=1，那么CRSCRS。
• 如果α+β<1\alpha+\beta<1，那么DRSDRS。
• 如果α+β>1\alpha+\beta>1，那么IRSIRS。

最小生产函数

在某个生产要素（比如ll）小于规定的阈值时，这时候的F(k,l)=0F(k,l)=0。 这点在经济生活中也很常见，比如一项工作的进展需要大家协力，不够一定的人数是开展不了工作没有办法生产的。

经济限制

谈完技术限制，我们来继续谈经济限制。 根据生产函数生产出来的东西，我们总需要放到市场上去卖吧。

那么，公司面对的问题就是：

s.t.maxq,k,l≥0qp−(rk+wl)q=F(k,l)

\begin{split} &\max_{q,k,l \ge 0} qp-(rk+wl) \\ s.t. \quad &q = F(k,l) \end{split}

通过这个问题，在p,w,rp,w,r这些价格条件下可以解出：

• q∗(p,w,r)q^*(p,w,r)：最优产量
• k∗(p,w,r)k^*(p,w,r)：最优资本要素投入
• l∗(p,w,r)l^*(p,w,r)：最优人力要素投入

关于上面公司面临的问题，有两种解法：

从输入解起

这里写图片描述

从输出解起

这里写图片描述

这里写图片描述

利润最大化要求损失最小

这里写图片描述

损失函数

损失最小问题的解

上面说了如果利润最大化，那么损失肯定是最小的。 当isocost和isoquant相切的话，损失最小。

这里写图片描述

所以，有：

这里写图片描述

、

损失函数的性质

未完待续