消费者理论
是构建经济学大厦的基石。
本文先从优化问题讲起,构建经济学基本的benefit-cost
模型,然后从消费者的角度阐述consumer theory
,具体包括consumer demand
,consumer surplus
,consumer mistake
,recovering preferences from data
。
经济学中的很多问题都可以理解成优化问题。 针对不同的对象(消费者、公司、市场等),构造不同的目标函数,然后优化目标函数。
典型的优化问题如下:
utility(x)
,通过决定买多少商品x
,在给定的财富水平W
和市场价格p
(更广泛的市场情况θ\theta)下。profit
,通过决定卖多少商品x
,在给定的科技限制还有市场价格p
(更广泛的市场情况θ\theta)下。经济学中的优化问题有最基本的结构:
s.t. maxxT(x)=B(x)−C(x)=benefit−costx≥0T(x) is strictly concave
\begin{split} &\max_x T(x) = B(x) - C(x) = benefit- cost \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ &T(x) ~~ \text{is strictly concave} \end{split}
这个最基本结构的好处是:
关于为什么很多经济学问题中,T(x)T(x)都是严格concave
的,解释如下:
In many economic problems we have B′(x)>0,B′′(X)≤0,C′(x)>0,C′′(x)≥0B'(x)>0,B''(X) \le 0, C'(x) >0, C''(x) \ge 0 (with not bothB′′=0B''=0 and C′′=0C''=0). Then T′′(x)<0T''(x)<0。
基本模型的适用举两个例子:
net utility
模型的解:
T′(x)=0,易知B′(x)=C′(x),也就是MB=MCT'(x)=0,易知B'(x)=C'(x),也就是MB=MC
无约束优化问题参考上面的基本模型。
有约束的优化问题,需要考虑corner solution
和interior solution
。
有约束的优化问题,一个比较常见的模式如下:
s.t. maxxT(x,y)=U(x)+V(y)x≥0y≥0px+qy=WU′,V′>0;U′′,V′′<0
\begin{split} &\max_x T(x,y) =U(x) + V(y) \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ ~~ &y \ge 0 \\ &px+qy=W \\ & U',V'>0; U'',V''<0 \end{split}
这个模式,通过一个简单的trick
,就可以转换成之前的benefit-cost
的问题,然后根据解的位置,也就是是否MB和MC交叉确定最优解:
maxxT(x,y)=U(x)−(−V(W−pxq))
\max_x T(x,y) =U(x) - (- V(\frac{W-px}{q}))
B-C
模型,使得求解全局最优很简单很直观,一般来说需要满足下面三点
B-C
模式concavity
和cross condition
corner solution
和interior solution
首先,定义utility function
:
s.t. maxxU(x,m)=B(x)+mx≥0B′>0;B′′<0
\begin{split} &\max_x U(x,m) = B(x) +m \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ & B'>0; B''<0 \end{split}
对上面的模型解释如下:
units
。money
。experienced utility
(满足、高兴等),单位是money
。experienced utility
。假设财富是WW,xx商品的当前价格是pp,那么优化函数可以写作:
maxxU(x,m)=B(x)+m=B(x)+W−xp≈B(x)−xp
\begin{split} \max_x U(x,m) &= B(x) +m \\ &=B(x) +W-xp \\ &\approx B(x) -xp \end{split}
这样一来,又变成了B−CB-C的模式,直观来讲,当MB>MCMB>MC的时候,就应该不断购买xx,直到MB=MCMB=MC。
通过求解上面的优化问题,可以得到x∗(p)x^* (p),也就是消费者购买的数量随商品价格变动的函数。
这里需要特别注意一点:
x∗(p)x^* (p),p∗(x)p^* (x),B′(x)(MB)B'(x)(MB)是一条曲线,只不过自变量和因变量不同。
关于demand模型,有几点性质:
utility function
是quasi-linear
。前文的utility
衡量了experience utility
,为了衡量消费者的well-being
,我们构建了consumer surplus function
,简称CS(p)CS(p),或者更广泛的CS(θ)CS(\theta)。
maxxU(x,m)=B(x)+m=B(x)+W−xp≈B(x)−xp
\begin{split} \max_x U(x,m) &= B(x) +m \\ &=B(x) +W-xp \\ &\approx B(x) -xp \end{split}
CS(p)=U(x∗(p),W−px∗(p))−U(0,W)=∫x∗(p)0(B′(x)−p)dx
\begin{split} CS(p) &= U( x^*(p),W-px^*(p)) - U(0,W)\\ &= \int_0^{x^*(p)} (B'(x)-p) dx \end{split}
现实生活中,我们并不知道消费者的utility function
以及consumer surplus function
,所以很重要的一点是,如何从数据推导出上面的模型。
所幸的是,通过数据,我们可以知道:
x∗(p)
x^*(p)
然后根据p∗(x)p^*(x)和B′(x)B'(x)共曲线的性质,可以推导出:
CS(p)B(x)U(x)=∫x∗(p)0(B′(x)−p)dx=B(0)+∫x0B′(x)dx=B(x)+constant
\begin{split} CS(p) &=\int_0^{x^*(p)} (B'(x)-p) dx \\ B(x) &= B(0) + \int_0^x B'(x) dx \\ U(x) &= B(x) + \text{constant} \end{split}
同时,需要注意一点:如果U不是quasi-linear
的话,这种推倒也可以generalize
得很好。
前面的模型都是建立在消费者是rational
的情况下,也就是UDU=UEUU^{DU} = U^{EU},如果两者不相等(比如消费者受刺激addiction
),那么消费者就会犯错误。
demand function
是x∗(θ)x^*(\theta)。demand function
是xopt(θ)x^{opt}(\theta)。U(x,m)=Ax√+m
U(x,m) = A\sqrt{x} +m
问: 当价格下降百分之50的时候,需求xx改变了多少?
答: 增大了44倍
U(x,m)=2Ax√+m
U(x,m) = 2A\sqrt{x} +m
问: θ(0)\theta(0)情况下,自由买卖;θ(1)\theta(1)情况下,需要交百分之百的税,也就是商品p,需要实际付2p;问通过引进税,消费者的幸福感(CSCS)变化了多少?
答: −A2/(2∗p)-A^2/(2*p)
研究烟酒税
。
UEU(x,m)=2x√+mUDU(x,m)=20x√+m
\begin{split} U^{EU}(x,m) = 2\sqrt{x} +m \\ U^{DU}(x,m) = 20\sqrt{x} +m \end{split}
问:
政府通过引入sin tax
(tt,也就是每花费1,需要额外付t),希望x∗(t)=xoptx^*(t)=x^{opt},那么tt应该设置成多少?
答: 99
well-being
,CS(θ)=UEU(x∗(θ))−Uno tradeCS(\theta) = U^{EU}(x^*(\theta)) -U_{\text{no trade}}。