消费者理论概述

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消费者理论是构建经济学大厦的基石。 本文先从优化问题讲起，构建经济学基本的benefit-cost模型，然后从消费者的角度阐述consumer theory，具体包括consumer demand，consumer surplus，consumer mistake，recovering preferences from data。

优化问题

经济学中的很多问题都可以理解成优化问题。 针对不同的对象（消费者、公司、市场等），构造不同的目标函数，然后优化目标函数。

典型的优化问题如下：

• 消费者最大化utility(x)，通过决定买多少商品x，在给定的财富水平W和市场价格p（更广泛的市场情况θ\theta）下。
• 公司最大化profit，通过决定卖多少商品x，在给定的科技限制还有市场价格p（更广泛的市场情况θ\theta）下。

基本模型

经济学中的优化问题有最基本的结构：

s.t. maxxT(x)=B(x)−C(x)=benefit−costx≥0T(x) is strictly concave

\begin{split} &\max_x T(x) = B(x) - C(x) = benefit- cost \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ &T(x) ~~ \text{is strictly concave} \end{split}

这个最基本结构的好处是：

1. 全局最优值存在（假设MB和MC交叉）
2. 全局最优值独立
3. 有很好的经济学解释

关于为什么很多经济学问题中，T(x)T(x)都是严格concave的，解释如下：

In many economic problems we have B′(x)>0,B′′(X)≤0,C′(x)>0,C′′(x)≥0B'(x)>0,B''(X) \le 0, C'(x) >0, C''(x) \ge 0 (with not bothB′′=0B''=0 and C′′=0C''=0). Then T′′(x)<0T''(x)<0。

基本模型的适用举两个例子：

1. 公司
   • x：卖的商品数量
   • B：卖商品的收入
   • C：生产产品的花费
   • T：公司的净利润
2. 消费者
   • x：消费商品的数量
   • B：消费商品带来的好处
   • C：消费产品付出的钱
   • T：net utility

模型的解：

T′(x)=0，易知B′(x)=C′(x)，也就是MB=MCT'(x)=0，易知B'(x)=C'(x)，也就是MB=MC

无约束优化

无约束优化问题参考上面的基本模型。

约束优化

有约束的优化问题，需要考虑corner solution和interior solution。

有约束的优化问题，一个比较常见的模式如下：

s.t. maxxT(x,y)=U(x)+V(y)x≥0y≥0px+qy=WU′,V′>0;U′′,V′′<0

\begin{split} &\max_x T(x,y) =U(x) + V(y) \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ ~~ &y \ge 0 \\ &px+qy=W \\ & U',V'>0; U'',V''<0 \end{split}

这个模式，通过一个简单的trick，就可以转换成之前的benefit-cost的问题，然后根据解的位置，也就是是否MB和MC交叉确定最优解：

maxxT(x,y)=U(x)−(−V(W−pxq))

\max_x T(x,y) =U(x) - (- V(\frac{W-px}{q}))

小结

1. 对于一个优化问题，确定全局最优很难，但是对于经济学问题，通过构建B-C模型，使得求解全局最优很简单很直观，一般来说需要满足下面三点
   • 优化函数可以写作B-C模式
   • x大于0
   • 满足concavity和cross condition
2. 注意解的corner solution和interior solution

消费者理论

consumer demand

utility模型

首先，定义utility function：

s.t. maxxU(x,m)=B(x)+mx≥0B′>0;B′′<0

\begin{split} &\max_x U(x,m) = B(x) +m \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ & B'>0; B''<0 \end{split}

对上面的模型解释如下：

1. xx代表感兴趣的货物，单位是units。
2. mm代表除了xx的其他消费，单位是money。
3. U(x,m)U(x,m)代表通过消费x,mx,m，获得的experienced utility（满足、高兴等），单位是money。
4. B(x)B(x)代表买xx单位的xx货物的意愿。
5. maxxU(x,m)\max_x U(x,m)表示通过选择购买多少xx，最大化experienced utility。

utility优化问题

假设财富是WW，xx商品的当前价格是pp，那么优化函数可以写作：

maxxU(x,m)=B(x)+m=B(x)+W−xp≈B(x)−xp

\begin{split} \max_x U(x,m) &= B(x) +m \\ &=B(x) +W-xp \\ &\approx B(x) -xp \end{split}

这样一来，又变成了B−CB-C的模式，直观来讲，当MB>MCMB>MC的时候，就应该不断购买xx，直到MB=MCMB=MC。

demand模型

通过求解上面的优化问题，可以得到x∗(p)x^* (p)，也就是消费者购买的数量随商品价格变动的函数。

这里需要特别注意一点：

x∗(p)x^* (p)，p∗(x)p^* (x)，B′(x)(MB)B'(x)(MB)是一条曲线，只不过自变量和因变量不同。

关于demand模型，有几点性质：

1. dx∗dp≤0\frac{dx^*}{dp} \le 0
2. dx∗dW=0\frac{dx^*}{dW} =0
3. 上面两条性质的前提是消费者消费的xx占总体消费的比重不高，以及utility function是quasi-linear。

consumer surplus

前文的utility衡量了experience utility，为了衡量消费者的well-being，我们构建了consumer surplus function，简称CS(p)CS(p)，或者更广泛的CS(θ)CS(\theta)。

maxxU(x,m)=B(x)+m=B(x)+W−xp≈B(x)−xp

\begin{split} \max_x U(x,m) &= B(x) +m \\ &=B(x) +W-xp \\ &\approx B(x) -xp \end{split}

CS(p)=U(x∗(p),W−px∗(p))−U(0,W)=∫x∗(p)0(B′(x)−p)dx

\begin{split} CS(p) &= U( x^*(p),W-px^*(p)) - U(0,W)\\ &= \int_0^{x^*(p)} (B'(x)-p) dx \end{split}

数据到模型

现实生活中，我们并不知道消费者的utility function以及consumer surplus function，所以很重要的一点是，如何从数据推导出上面的模型。

所幸的是，通过数据，我们可以知道：

x∗(p)

x^*(p)

然后根据p∗(x)p^*(x)和B′(x)B'(x)共曲线的性质，可以推导出：

CS(p)B(x)U(x)=∫x∗(p)0(B′(x)−p)dx=B(0)+∫x0B′(x)dx=B(x)+constant

\begin{split} CS(p) &=\int_0^{x^*(p)} (B'(x)-p) dx \\ B(x) &= B(0) + \int_0^x B'(x) dx \\ U(x) &= B(x) + \text{constant} \end{split}

同时，需要注意一点：如果U不是quasi-linear的话，这种推倒也可以generalize得很好。

consumer mistake

前面的模型都是建立在消费者是rational的情况下，也就是UDU=UEUU^{DU} = U^{EU}，如果两者不相等（比如消费者受刺激addiction），那么消费者就会犯错误。

• Experienced utility: describes well-being/hedonics，消费者的demand function是x∗(θ)x^*(\theta)。
• Decision utility: describes objective that is maximized at decision time，消费者的demand function是xopt(θ)x^{opt}(\theta)。

例子

例1

U(x,m)=Ax√+m

U(x,m) = A\sqrt{x} +m

问： 当价格下降百分之50的时候，需求xx改变了多少？

答： 增大了44倍

例2

U(x,m)=2Ax√+m

U(x,m) = 2A\sqrt{x} +m

问： θ(0)\theta(0)情况下，自由买卖；θ(1)\theta(1)情况下，需要交百分之百的税，也就是商品p，需要实际付2p；问通过引进税，消费者的幸福感(CSCS)变化了多少？

答： −A2/(2∗p)-A^2/(2*p)

例3

研究烟酒税。

UEU(x,m)=2x√+mUDU(x,m)=20x√+m

\begin{split} U^{EU}(x,m) = 2\sqrt{x} +m \\ U^{DU}(x,m) = 20\sqrt{x} +m \end{split}

问： 政府通过引入sin tax（tt，也就是每花费1，需要额外付t），希望x∗(t)=xoptx^*(t)=x^{opt}，那么tt应该设置成多少？

答： 99

小结

1. 通过x∗(θ)x^*(\theta)衡量消费者的行为，产生这种行为的动机是maxUDU(x)\max U^{DU}(x)。
2. 通过CS(θ)CS(\theta)衡量消费者的well-being，CS(θ)=UEU(x∗(θ))−Uno tradeCS(\theta) = U^{EU}(x^*(\theta)) -U_{\text{no trade}}。
3. 可以从消费者的行为p∗(x)p^*(x)将所有模型建立起来。