消费者理论概述

消费者理论是构建经济学大厦的基石。 本文先从优化问题讲起,构建经济学基本的benefit-cost模型,然后从消费者的角度阐述consumer theory,具体包括consumer demandconsumer surplusconsumer mistakerecovering preferences from data

优化问题

经济学中的很多问题都可以理解成优化问题。 针对不同的对象(消费者、公司、市场等),构造不同的目标函数,然后优化目标函数。

典型的优化问题如下:

  • 消费者最大化utility(x),通过决定买多少商品x,在给定的财富水平W和市场价格p(更广泛的市场情况θ\theta)下。
  • 公司最大化profit,通过决定卖多少商品x,在给定的科技限制还有市场价格p(更广泛的市场情况θ\theta)下。

基本模型

经济学中的优化问题有最基本的结构:

s.t. maxxT(x)=B(x)−C(x)=benefit−costx≥0T(x) is strictly concave

\begin{split} &\max_x T(x) = B(x) - C(x) = benefit- cost \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ &T(x) ~~ \text{is strictly concave} \end{split}

这个最基本结构的好处是:

  1. 全局最优值存在(假设MB和MC交叉)
  2. 全局最优值独立
  3. 有很好的经济学解释

关于为什么很多经济学问题中,T(x)T(x)都是严格concave的,解释如下:

In many economic problems we have B′(x)>0,B′′(X)≤0,C′(x)>0,C′′(x)≥0B'(x)>0,B''(X) \le 0, C'(x) >0, C''(x) \ge 0 (with not bothB′′=0B''=0 and C′′=0C''=0). Then T′′(x)<0T''(x)<0。

基本模型的适用举两个例子:

  1. 公司
    • x:卖的商品数量
    • B:卖商品的收入
    • C:生产产品的花费
    • T:公司的净利润
  2. 消费者
    • x:消费商品的数量
    • B:消费商品带来的好处
    • C:消费产品付出的钱
    • T:net utility

模型的解:

T′(x)=0,易知B′(x)=C′(x),也就是MB=MCT'(x)=0,易知B'(x)=C'(x),也就是MB=MC

无约束优化

无约束优化问题参考上面的基本模型。

约束优化

有约束的优化问题,需要考虑corner solutioninterior solution

有约束的优化问题,一个比较常见的模式如下:

s.t. maxxT(x,y)=U(x)+V(y)x≥0y≥0px+qy=WU′,V′>0;U′′,V′′<0

\begin{split} &\max_x T(x,y) =U(x) + V(y) \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ ~~ &y \ge 0 \\ &px+qy=W \\ & U',V'>0; U'',V''<0 \end{split}

这个模式,通过一个简单的trick,就可以转换成之前的benefit-cost的问题,然后根据解的位置,也就是是否MB和MC交叉确定最优解:

maxxT(x,y)=U(x)−(−V(W−pxq))

\max_x T(x,y) =U(x) - (- V(\frac{W-px}{q}))

小结

  1. 对于一个优化问题,确定全局最优很难,但是对于经济学问题,通过构建B-C模型,使得求解全局最优很简单很直观,一般来说需要满足下面三点
    • 优化函数可以写作B-C模式
    • x大于0
    • 满足concavitycross condition
  2. 注意解的corner solutioninterior solution

消费者理论

consumer demand

utility模型

首先,定义utility function

s.t. maxxU(x,m)=B(x)+mx≥0B′>0;B′′<0

\begin{split} &\max_x U(x,m) = B(x) +m \\ s.t. ~~ &x \ge 0 \\ & B'>0; B''<0 \end{split}

对上面的模型解释如下:

  1. xx代表感兴趣的货物,单位是units
  2. mm代表除了xx的其他消费,单位是money
  3. U(x,m)U(x,m)代表通过消费x,mx,m,获得的experienced utility(满足、高兴等),单位是money
  4. B(x)B(x)代表买xx单位的xx货物的意愿。
  5. maxxU(x,m)\max_x U(x,m)表示通过选择购买多少xx,最大化experienced utility

utility优化问题

假设财富是WW,xx商品的当前价格是pp,那么优化函数可以写作:

maxxU(x,m)=B(x)+m=B(x)+W−xp≈B(x)−xp

\begin{split} \max_x U(x,m) &= B(x) +m \\ &=B(x) +W-xp \\ &\approx B(x) -xp \end{split}

这样一来,又变成了B−CB-C的模式,直观来讲,当MB>MCMB>MC的时候,就应该不断购买xx,直到MB=MCMB=MC。

demand模型

通过求解上面的优化问题,可以得到x∗(p)x^* (p),也就是消费者购买的数量随商品价格变动的函数。

这里需要特别注意一点:

x∗(p)x^* (p),p∗(x)p^* (x),B′(x)(MB)B'(x)(MB)是一条曲线,只不过自变量和因变量不同。

关于demand模型,有几点性质:

  1. dx∗dp≤0\frac{dx^*}{dp} \le 0
  2. dx∗dW=0\frac{dx^*}{dW} =0
  3. 上面两条性质的前提是消费者消费的xx占总体消费的比重不高,以及utility functionquasi-linear

consumer surplus

前文的utility衡量了experience utility,为了衡量消费者的well-being,我们构建了consumer surplus function,简称CS(p)CS(p),或者更广泛的CS(θ)CS(\theta)。

maxxU(x,m)=B(x)+m=B(x)+W−xp≈B(x)−xp

\begin{split} \max_x U(x,m) &= B(x) +m \\ &=B(x) +W-xp \\ &\approx B(x) -xp \end{split}

CS(p)=U(x∗(p),W−px∗(p))−U(0,W)=∫x∗(p)0(B′(x)−p)dx

\begin{split} CS(p) &= U( x^*(p),W-px^*(p)) - U(0,W)\\ &= \int_0^{x^*(p)} (B'(x)-p) dx \end{split}

数据到模型

现实生活中,我们并不知道消费者的utility function以及consumer surplus function,所以很重要的一点是,如何从数据推导出上面的模型。

所幸的是,通过数据,我们可以知道:

x∗(p)

x^*(p)

然后根据p∗(x)p^*(x)和B′(x)B'(x)共曲线的性质,可以推导出:

CS(p)B(x)U(x)=∫x∗(p)0(B′(x)−p)dx=B(0)+∫x0B′(x)dx=B(x)+constant

\begin{split} CS(p) &=\int_0^{x^*(p)} (B'(x)-p) dx \\ B(x) &= B(0) + \int_0^x B'(x) dx \\ U(x) &= B(x) + \text{constant} \end{split}

同时,需要注意一点:如果U不是quasi-linear的话,这种推倒也可以generalize得很好。

consumer mistake

前面的模型都是建立在消费者是rational的情况下,也就是UDU=UEUU^{DU} = U^{EU},如果两者不相等(比如消费者受刺激addiction),那么消费者就会犯错误。

  • Experienced utility: describes well-being/hedonics,消费者的demand function是x∗(θ)x^*(\theta)。
  • Decision utility: describes objective that is maximized at decision time,消费者的demand function是xopt(θ)x^{opt}(\theta)。

例子

例1

U(x,m)=Ax√+m

U(x,m) = A\sqrt{x} +m

问: 当价格下降百分之50的时候,需求xx改变了多少?

答: 增大了44倍

例2

U(x,m)=2Ax√+m

U(x,m) = 2A\sqrt{x} +m

问: θ(0)\theta(0)情况下,自由买卖;θ(1)\theta(1)情况下,需要交百分之百的税,也就是商品p,需要实际付2p;问通过引进税,消费者的幸福感(CSCS)变化了多少?

答: −A2/(2∗p)-A^2/(2*p)

例3

研究烟酒税

UEU(x,m)=2x√+mUDU(x,m)=20x√+m

\begin{split} U^{EU}(x,m) = 2\sqrt{x} +m \\ U^{DU}(x,m) = 20\sqrt{x} +m \end{split}

问: 政府通过引入sin tax(tt,也就是每花费1,需要额外付t),希望x∗(t)=xoptx^*(t)=x^{opt},那么tt应该设置成多少?

答: 99

小结

  1. 通过x∗(θ)x^*(\theta)衡量消费者的行为,产生这种行为的动机是maxUDU(x)\max U^{DU}(x)。
  2. 通过CS(θ)CS(\theta)衡量消费者的well-being,CS(θ)=UEU(x∗(θ))−Uno tradeCS(\theta) = U^{EU}(x^*(\theta)) -U_{\text{no trade}}。
  3. 可以从消费者的行为p∗(x)p^*(x)将所有模型建立起来。

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