LinearAlgebra_3

矩阵空间、秩一矩阵、小世界图

矩阵空间

矩阵空间也是一种向量空间,对加法和数乘(或者说线性组合)封闭。 它的子空间,比如对称矩阵、上三角矩阵也是向量空间。

以M3∗3M_{3*3}矩阵为例,维度是9。其对阵矩阵SS的维度是6,其上三角矩阵UU的维度是6。 S⋂US \bigcap U的维度是3,S⋃US \bigcup U不是线性空间,S+US+U的维度是9。 其中,

S+U=S + U = any element of S + any element of U

有一个公式:

dim(S)+dim(U)=dim(S⋂U)+dim(S+U)

dim(S)+dim(U)=dim(S \bigcap U) + dim(S+U)

此外,还有一种特殊的向量空间(特殊在并不包含向量)。 比如解微分方程:

d2ydx2+y=0

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + y = 0 这是一个线性微分方程,所求的解可以理解为寻找解空间的一组基底。

这组基底可以是(【cosx,0】,【0,sinx】),也可以是(【e^(ix),0】,【e^(-ix),0】)。

此外,这组解空间的维数是2,因为d2y/dx2\mathrm{d}^2y/\mathrm{d}x^2。

秩一矩阵

秩为1的矩阵,就像building blocks for all matrics

比如

A = [1 4 5 ] = [1] * [1 4 5]
    [2 8 10]   [2]

如果A5∗11A_{5*11},rank(A)=4rank(A)=4,那么原矩阵可以视为4个秩一矩阵的组合。

小世界图

Graph = {nodes, edges} 世界是很小的,往往通过几个edge就可以连到意想不到的node上面。 六度理论。

图和网络

上面的图,可以表示电路,水路,穹顶等,图论在现实生活中应用很广泛。 而且实际中的矩阵一般都是稀疏的。

下面的例子,仅以节点代表电位,连接节点的线代表电流通道。

零空间

考虑列的线性组合,如果列是相关的,那么就形成了一个loop电流通路。 零空间代表每个点的电势应该怎么样,才可以保证每个连接上的电流是0。 本题中零空间是一维的,说明在整个回路中如果需要确定基点的电势,因此一般选择一个点接地(零电位点),主要原因就是零空间是一维的。

e=Ax

e = Ax

左零空间

下面考虑$A^Ty=0,也就是每个连接上的电流是多少,才能够保证在每个node上的电流为0。 这个也叫作基尔霍夫电流定律,KCL。

这个题目中的维度是5-3=2。

行空间

行如果独立的话,那么就不是一个loop回路。 独立的最大数目的行,被称作tree。

欧拉公式

dim(N(AT))=m−r

dim(N(A^T)) = m-r loops = edges - (nodes-1)

工业用公式

no source term的电路公式可以表述为: e=Axe = Ax y=Cey = Ce ATy=0A^Ty=0 合在一起就是

ATCAx=0

A^TCAx=0 考虑了外加的source后: ATy=fA^Ty=f

ATCAx=f

A^TCAx=f

ATAA^TA总是对称的。

正交向量和子空间

向量正交

向量点积为0的时候,表示向量正交,夹角为90度。

子空间正交

子空间正交,当且仅当子空间A的任意向量与子空间B的任意向量都垂直。

两个子空间正交,那么交点肯定不会有非零向量。

矩阵的bigPicture

行空间和零空间正交,且构成正交补(两个子空间加起来填补了整个Rn\mathrm{R^n})。 根据Ax=0Ax=0可以看出来,零空间的任何一个向量与行空间向量的线性组合的点积都是0。

无解方程组的最优解

现实中,很多方程Ax=bAx=b都是无解的,这种情况一般是m>nm>n。 比如多次对卫星的距离测量,多次测量脉搏等。

可以使用ATAA^TA构建一个更好的矩阵。 这个矩阵的性质有:

  1. N(ATA)=N(A)N(A^TA) = N(A)
  2. rank(ATA)=rank(A)rank(A^TA) = rank(A)
  3. ATAA^TA是方阵,对称矩阵,但是不一定可逆

求解的方法是:

Ax=b−−>>ATAx=b

Ax=b -->> A^TAx=b

子空间投影

二维空间的简单投影

主要有三个式子:

x=aTb/aTa

x = a^Tb/a^Ta

p=a∗x=a∗aTbaTa

p = a*x = a*\frac{a^Tb}{a^Ta}

P=aaTaTa

P = \frac{aa^T}{a^Ta}

关于投影矩阵P

  1. PT=PP^T=P
  2. Pk=PP^k=P

多维空间情况

AT(b−Pb)=0

A^T(b-Pb)=0

AT(b−Ax^)=0

A^T(b-A\hat{x})=0

x^=(ATA)−1ATb

\hat{x} =(A^TA)^{-1}A^Tb

p=Ax^=A(ATA)−1ATb

p = A\hat{x}=A(A^TA)^{-1}A^Tb

P=A(ATA)−1AT

P = A(A^TA)^{-1}A^T

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