微分方程与欧拉法
微分方程概述
微分方程在各个领域应用颇多。
形如
的微分方程表示了系统的变化信息，
如果在加上初始条件(x0,y0)，那么就可以求出系统整体随时间变化的信息。
可以说，正是微分方程将物理世界模型化。
方向场与积分曲线
方向场（direction field）与积分曲线（integral curve）的关系，可以用下面的式子简要表示：
其中，当f(x,y),f′(x,y)在邻域内连续时，积分曲线不会相交也不会相切，解存在且唯一(exist and unique)。 下面，举函数y′=−x/y的方向场与积分曲线：
%下面的函数dirfield需要用到参考资料中的函数
%定义函数y'
f = @(x,y) -x/y
%方向场的一些简单可视化
ezplot(f,[-2,2,-2,2])
ezsurf(f,[-2,2,-2,2])
ezcontour(f,[-2,2,-2,2]); colorbar
%画出方向场与积分曲线
dirfield(f,-2:0.2:2,-2:0.2:2)
hold on
for y0=-0.2:0.5:2
[ts,ys] = ode45(f,[-2,2],y0); plot(ts,ys)
end
title('dy/dx=-x/y的方向场与积分曲线')
hold off微分方程的解析解法
微分方程的解析解法通常是将x,y分别移到等式的一边。 下面以
为例，移项后
所以有
进而有
最后解得：
其实，
就是根据微分方程y′=y在(0,1)(0,1)的初始条件下确定的。 使用matlab的解析解法为：
dsolve('Dy=2*y+1','x'
%输出为： (C2*exp(2*x))/2 - 1/2
%求解e^x
dsolve('Dy=y','y(0)=1','x')
%输出为： exp(x)微分方程的数值解法
欧拉法
欧拉法的核心是，设定步长为h，然后已知y′和(x0,y0)，根据下面方法迭代：
ODE数值解法的matlab程序为：
[xs,ys] = ode45(f,[-2,2],y0)欧拉法的缺点
由上图可见，欧拉法存在一定的误差，并且误差会累计。当步长越小误差也就越小拟合效果越好。 这种情况下，误差和步长的关系是:
e∼c∗h
如果函数时而convex时而concave，这时候误差的变化便难以预测。
#---------------------------------------------------------
##凸函数
import numpy as np
import scipy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
#定义产生下一个点的函数
def nextPoint(x,y,h):
xn = x + h
slope = 2*x
yn = y + h*slope
return (xn,yn)
#定义产生点的生成器
def pointGenerator(x,y,h):
while True:
yield nextPoint(x,y,h)
(x,y) = nextPoint(x,y,h)
#根据输入的起始终止点以及步长，输出可以用于画图的参数
def getXY(x,y,h):
x1,y1=[],[]
for i in pointGenerator(x,y,h):
xi = i[0]
yi = i[1]
if xi>2.5:
break
else:
x1.append(xi)
y1.append(yi)
x1.insert(0,-2)
y1.insert(0,4)
return (x1,y1)
#---------------------------------------------------------
#凹函数
#大部分和上面相同，只是将`nextPoint`函数重新定义
def nextPoint(x,y,h):
xn = x + h
slope = -2*x
yn = y + h*slope
return (xn,yn)
def pointGenerator(x,y,h):
while True:
yield nextPoint(x,y,h)
(x,y) = nextPoint(x,y,h)
def getXY(x,y,h):
x1,y1=[],[]
for i in pointGenerator(x,y,h):
xi = i[0]
yi = i[1]
if xi>2.5:
break
else:
x1.append(xi)
y1.append(yi)
x1.insert(0,-2)
y1.insert(0,-4)
return (x1,y1)
x = np.arange(-2,2.1,0.1)
y = -x**2
x1,y1 = getXY(-2,-4,0.1)
x2,y2 = getXY(-2,-4,0.4)
x3,y3 = getXY(-2,-4,0.6)
plt.plot(x,y,'b--', linewidth=1,label='raw line')
plt.plot(x1,y1,'r',label='h=0.1')
plt.plot(x2,y2,'g',label='h=0.4')
plt.plot(x3,y3,'c',label='h=0.6')
plt.autoscale()
plt.xlim(-2.5,2.5)
plt.legend(loc='best')
plt.title('concave function with different h')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()改进欧拉法之步长
步长的改进参考上文，步长越小误差越小。
改进欧拉法之斜率
核心是：计算斜率不只考虑当前的点，也考虑之后的点的斜率。 该方法一般被称作`runge-kutta`法，上文只用到一个斜率的被称为RK1，下面将要阐述的是RK2，同时在绝大多数数值计算工具中，`RK4`的使用最为广泛。
图片名称
由上图可看，RK2的效果已经比RK1好太多的。
import numpy as np
import scipy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
#RK1
def nextPoint(x,y,h):
xn = x + h
slope = 2*x
yn = y + h*slope
return (xn,yn)
def pointGenerator(x,y,h):
while True:
yield nextPoint(x,y,h)
(x,y) = nextPoint(x,y,h)
def getXY(x,y,h):
x1,y1=[],[]
for i in pointGenerator(x,y,h):
xi = i[0]
yi = i[1]
if xi>2.5:
break
else:
x1.append(xi)
y1.append(yi)
x1.insert(0,-2)
y1.insert(0,4)
return (x1,y1)
#RK2
def nextPoint2(x,y,h):
xn = x + h
slope = (2*x + 2*xn)/2
yn = y + h*slope
return (xn,yn)
def pointGenerator2(x,y,h):
while True:
yield nextPoint2(x,y,h)
(x,y) = nextPoint2(x,y,h)
def getXY2(x,y,h):
x1,y1=[],[]
for i in pointGenerator2(x,y,h):
xi = i[0]
yi = i[1]
if xi>2.5:
break
else:
x1.append(xi)
y1.append(yi)
x1.insert(0,-2)
y1.insert(0,4)
return (x1,y1)
#DATA
x = np.arange(-2,2.1,0.1)
y = x**2
x1,y1 = getXY(-2,4,1)
x2,y2 = getXY2(-2,4,1)
x3,y3 = getXY(-2,4,0.5)
x4,y4 = getXY2(-2,4,0.5)
#PLOT
plt.plot(x,y,'k', linewidth=1,label='raw line')
plt.plot(x4,y4,'r--',label='h=0.5 RK2')
plt.plot(x2,y2,'b--',label='h=1 RK2')
plt.plot(x3,y3,'c--',label='h=0.5 RK1')
plt.plot(x1,y1,'g--',label='h=1 RK1')
plt.autoscale()
plt.xlim(-2.5,2.5)
plt.legend(loc='best')
plt.title('convex function with different h and RKn')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()参考资料
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原始发表：2015年12月10日，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除
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