LeetCode：152_Maximum Product Subarray | 最大乘积连续子数组 | Medium
LeetCode：152_Maximum Product Subarray | 最大乘积连续子数组 | Medium
题目：Maximum Product Subarray
Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.
For example, given the array [2,3,-2,4],
the contiguous subarray [2,3] has the largest product = 6. 这道题属于动态规划的题型，之前常见的是Maximum SubArray，现在是Product Subarray，不过思想是一致的。 当然不用动态规划，常规方法也是可以做的，但是时间复杂度过高（TimeOut），像下面这种形式：
1 // 思路：用两个指针来指向字数组的头尾
2 int maxProduct(int A[], int n)
3 {
4 assert(n > 0);
5 int subArrayProduct = -32768;
6
7 for (int i = 0; i != n; ++ i) {
8 int nTempProduct = 1;
9 for (int j = i; j != n; ++ j) {
10 if (j == i)
11 nTempProduct = A[i];
12 else
13 nTempProduct *= A[j];
14 if (nTempProduct >= subArrayProduct)
15 subArrayProduct = nTempProduct;
16 }
17 }
18 return subArrayProduct;
19 }用动态规划的方法，就是要找到其转移方程式，也叫动态规划的递推式，动态规划的解法无非是维护两个变量，局部最优和全局最优，我们先来看Maximum SubArray的情况，如果遇到负数，相加之后的值肯定比原值小，但可能比当前值大，也可能小，所以，对于相加的情况，只要能够处理局部最大和全局最大之间的关系即可，对此，写出转移方程式如下： local[i + 1] = Max(local[i] + A[i], A[i]);
global[i + 1] = Max(local[i + 1], global[i]);
对应代码如下：
1 int maxSubArray(int A[], int n)
2 {
3 assert(n > 0);
4 if (n <= 0)
5 return 0;
6 int global = A[0];
7 int local = A[0];
8
9 for(int i = 1; i != n; ++ i) {
10 local = MAX(A[i], local + A[i]);
11 global = MAX(local, global);
12 }
13 return global;
14 }而对于Product Subarray，要考虑到一种特殊情况，即负数和负数相乘：如果前面得到一个较小的负数，和后面一个较大的负数相乘，得到的反而是一个较大的数，如{2，-3，-7}，所以，我们在处理乘法的时候，除了需要维护一个局部最大值，同时还要维护一个局部最小值，由此，可以写出如下的转移方程式：
max_copy[i] = max_local[i] max_local[i + 1] = Max(Max(max_local[i] * A[i], A[i]), min_local * A[i])
min_local[i + 1] = Min(Min(max_copy[i] * A[i], A[i]), min_local * A[i])
对应代码如下：
1 #define MAX(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
2 #define MIN(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
3
4 int maxProduct1(int A[], int n)
5 {
6 assert(n > 0);
7 if (n <= 0)
8 return 0;
9
10 if (n == 1)
11 return A[0];
12 int max_local = A[0];
13 int min_local = A[0];
14
15 int global = A[0];
16 for (int i = 1; i != n; ++ i) {
17 int max_copy = max_local;
18 max_local = MAX(MAX(A[i] * max_local, A[i]), A[i] * min_local);
19 min_local = MIN(MIN(A[i] * max_copy, A[i]), A[i] * min_local);
20 global = MAX(global, max_local);
21 }
22 return global;
23 }总结：动态规划题最核心的步骤就是要写出其状态转移方程，但是如何写出正确的方程式，需要我们不断的实践并总结才能达到。