概率论13 中心极限定律
在整个概率论中，核心的问题是随机变量的分布。正如我们在离散分布和连续分布中看到的，分布有许多种类。更夸张的是，在满足概率公理的前提下，我们完全可以自行设计分布。想像一下，如果有一天数学书上印一个Vamei分布，这是多么美好的事情啊！然而，这一愿望并不那么容易实现。那些“名流”分布，比如“泊松”，“高斯”，“伯努利”分布，往往在理论上很重要，所以得到了数学家的深入研究。“知名”分布的特性(比如它们的期望、方差、累计概率函数)可以很容易在数学手册中找到，这些研究成果也成为概率论“军火库”的重要部分。
另一方面，概率分布是否存在什么共性呢？我们的许多结论都是依赖于分布的具体类型。对于一个分布成立的结论，对于另一种分布可能并不成立。一个对任意分布都成立的结论可以大大简化我们的研究。这在自然科学和社会科学的研究中异常重要。在这些学科的研究中有许多随机变量。比如说，为了研究金矿，往往需要知道石头中含金量X的概率分布。然而，这些随机变量的分布类型不可能提前获知 (甚至于永远不能准确的知道)。这样的话，整个研究就被停在了第一步。如果我们可以得出一个对任意分布都成立的结论，那么我们就可以沿着这个结论继续进行下去。
自然有时候比我们想像的慷慨，它给出了一个概率论中相当核心的一组定律：中心极限定律(central limit theorem)。这组定律不但对于任意分布都成立，还特别提示我们：要特别注意正态分布。我们下面看看，中心极限定律是如何说的。
中心极限定律
演示中心极限定律
我们下面取n个IID随机变量，让它们都符合[$\lambda = 1$]的指数分布，并观察它们均值的分布状况。为了观察它们的分布，我们使用随机数生成器，来进行10000次采样。即进行100000次实验，每次实验获得一组随机变量的取值，得到一个均值。总共获得10000个均值。绘制均值分布的直方图。
分三种情况，分别让n等于1，20， 100:
在第一种情况下,
，即
本身是指数分布。
在第二、三种情况下，均值的分布越来越偏离一个指数分布，分布的形状不断趋近于一个正态分布。
代码如下：
# By Vamei
# Central Limit Theory
# X is exponential distribution with lambda = 1
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import expon
# Get one sample of (X1 + X2 + ... + XN)/N
def sample_mean(N):
# exponential distribution, with lambda = 1
one_sample = expon.rvs(scale = 1, size = N)
return one_sample.mean()
# Increase N: 1, 20 , 1000.
# Demo of Central Limit Theory in histogram
plt.figure(figsize=(12, 4))
for N, subp in zip([1, 20, 1000], [131, 132, 133]):
# generate samples
all_means = np.array([sample_mean(N) for i in range(10000)])
# plot figure
plt.subplot(subp)
plt.hist(all_means,bins=100,color="blue")
plt.title('Central Limit Theory n=%i' % N)
plt.xlabel('sample means')
plt.ylabel('Frequency')
plt.tight_layout()
plt.savefig('./central_limit.png', dpi=None, facecolor='w')练习：这段代码检验的是指数分布的均值。可以改写成检验其它分布是否符合中心极限定律，比如均匀分布的均值。
证明
花边
中心极限定律的原型可以追溯到18世纪de Moivre的研究。他经过实验发现，大量正面抛硬币的话，结果(1：正面，0：反面)的均值是一个正态分布。这里，de Moivre研究的分布是多个伯努利分布的随机变量的均值。
硬币投掷：均值的分布
(想像一下，当时没有计算机，更别说随机数生成器了。为了检验结果，de Moivre真的投了几千次硬币…… 数学家是很神奇的动物)
为了更加直观的理解中心极限定律的结果。我们来设想一下，如果一个大米缸中混装了黑白两种米，各占一半。从中随便抓一把，这一把中有n个米粒。如果n比较小的话，那么很有可能出现一些极端值，比如n = 3，出现三个纯白的米粒。但是，如果“一把”很大，比如1000颗米粒，那么出现1000个米都是白色的概率很小，而白米和黑米一半一半的概率很大，也就是一个类似于正态分布的分布方式。
我们可以将中心极限定律方便的用于许多统计问题。需要注意的是，中心极限定律要求n趋近无穷。在实际应用中，我们往往让n等于一个“足够”大的数，比如上面的1000。这个数字是否足够大呢？这取决于X是什么样的分布。对于某些分布来说，均值分布趋近于正态分布的速度很慢，这要求我们采用更大的n值。
总结
中心极限定律（均值趋近正态分布）