概率论09 期望
描述量
描述随机变量最完备的方法是写出该随机变量的概率分布。然而，正如我们在前面章节看到的，概率分布的表达往往都比较复杂，信息量很大。这如同我们购置汽车的时候，一辆汽车的全面数据可以说是海量的，比如汽车尺寸，油箱大小等等。我们选择一辆汽车时，往往只使用有限的几个具有代表性的量来代表汽车的主要特征，比如排气量，最大马力。我们信赖这几个量，因为它们可以“粗糙”的描述汽车的主要性能。这些量是汽车全面数据的一个缩影。
类似的，统计学家也设计了这样的投影系统，将全面的概率分布信息量投射到某几个量上，来代表随机变量的主要特征，从而掌握该随机变量的主要“性能”。这样的一些量称为随机变量的描述量(descriptor)。比如期望用于表示分布的中心位置，方差用于表示分布的分散程度等等。这些描述量可以迅速的传递其概率分布的一些主要信息，允许我们在深入研究之前，先对其特征有一个大概了解。
(买西瓜之前，先听听声音，可以对西瓜的成熟度有个了解。)
期望
期望(expectation)是概率分布的一个经典描述量，它有很深的现实根源。在生活中，我们往往对未知事件有一个预期，也就是我们的期望。比如，我们会根据自己的平时成绩，来期望高考分数。现实生活中的期望可以是许多因素的混合，比如历史表现和主观因素。
image.png
image.png
代码如下:
# By Vamei
from scipy.stats import norm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rv = norm(loc=0, scale = 1)
x = np.linspace(-5, 5, 200)
plt.fill_between(x, rv.pdf(x), y2=0.0 color="coral", label="N(0,1)")
plt.axvline(x = rv.mean(), label="E(X)", linewidth=1.5, color="blue")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim([-5, 5])
plt.ylim([-0.0, 0.5])
plt.title("normal distribution")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()上面的代码中，rv是一个随机变量对象，调用mean()方法，可以计算该随机变量的期望值。
指数分布的期望
根据指数分布的表达式，
image.png
它的期望为:
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对于
image.png
的指数分布，它的期望值为5。
可以通过编程，来计算指数分布的期望。如下图所示:
# By Vamei
from scipy.stats import expon
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rv = expon(scale = 5)
x = np.linspace(0.0, 30, 100)
print rv.pdf(x)
plt.fill_between(x, rv.pdf(x), y2=0, color="coral", label="0.2")
plt.axvline(x = rv.mean(), label="E(X)", linewidth=1.5, color="blue")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlim([0, 25])
plt.ylim([0, 0.2])
plt.title("exponential distribution")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()期望的性质
期望有一些很有用的性质：
image.png
image.png
条件期望
image.png
总结
期望是随机变量分布的一个描述量，用“概率加权平均”来计算，表达随机变量的预期。
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原始发表：2013-08-02 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除
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