概率论10 方差与标准差
除了期望，方差(variance)是另一个常见的分布描述量。如果说期望表示的是分布的中心位置，那么方差就是分布的离散程度。方差越大，说明随机变量取值越离散。
比如射箭时，一个优秀的选手能保持自己的弓箭集中于目标点附近，而一个经验不足的选手，他弓箭的落点会更容易散落许多地方。
上面的靶上有两套落点。尽管两套落点的平均中心位置都在原点 (即期望相同），但两套落点的离散程度明显有区别。蓝色的点离散程度更小。
数学上，我们用方差来代表一组数据或者某个概率分布的离散程度。可见，方差是独立于期望的另一个对分布的度量。两个分布，完全可能有相同的期望，而方差不同，正如我们上面的箭靶。
方差
对于一个随机变量[$X$]来说，它的方差为:
正态分布的标准差正等于正态分布中的参数σσ。这正是我们使用字母σσ来表示标准差的原因！
可以预期到，正态分布的σσ越大，分布离散越大，正如我们从下面的分布曲线中看到的:
当方差小时，曲线下的面积更加集中于期望值0附近。当方差大时，随机变量更加离散。此时分布曲线的“尾部”很厚，即使在取值很偏离0时，比如[$x=4$]时，依然有很大的概率可以取到。
代码如下:
# By Vamei
from scipy.stats import norm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Note the difference in "scale", which is std
rv1 = norm(loc=0, scale = 1)
rv2 = norm(loc=0, scale = 2)
x = np.linspace(-5, 5, 200)
plt.fill_between(x, rv1.pdf(x), y2=0.0, color="coral")
plt.fill_between(x, rv2.pdf(x), y2=0.0, color="green", alpha = 0.5)
plt.plot(x, rv1.pdf(x), color="red", label="N(0,1)")
plt.plot(x, rv2.pdf(x), color="blue", label="N(0,2)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim([-5, 5])
plt.ylim([-0.0, 0.5])
plt.title("normal distribution")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()指数分布的方差
指数分布的表达式为
它的方差为
如下图所示:
Chebyshev不等式
我们一直在强调，标准差(和方差)表示分布的离散程度。标准差越大，随机变量取值偏离平均值的可能性越大。如何定量的说明这一点呢？我们可以计算一个随机变量与期望偏离超过某个量的可能性。比如偏离超过2个标准差的可能性。即
这个概率依赖于分布本身的类型。比如正态分布[$N(0, 1)$]，这一概率即为x大于2，或者x小于-2的部分对应的曲线下面积：
实际上，无论[$\mu$]和[$\sigma$]如何取值，对于正态分布来说，偏离期望超过两个标准差的概率都相同，约等于0.0455 (可以根据正态分布的表达式计算)。随机变量的取值有约95.545%的可能性落在正负两个标准差的区间内，即从-2到2。如果我们放大区间，比如正负三个标准差，这一概率超过99%。我们可以相当有把握的说，随机变量会落正负三个标准差之内。上面的论述并不依赖于标准差的具体值。这里可以看到标准差所衡量的“离散”的真正含义：如果取相同概率的极端值区间，比如上面的0.0455，标准差越大，该极端值区间距离中心值越远。
然而，上面的计算和表述依赖于分布的类型（正态分布）。如何将相似的方差含义套用在其它随机变量身上呢？
绘图代码如下
from scipy.stats import norm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Note the difference in "scale", which is std
rv1 = norm(loc=0, scale = 1)
x1 = np.linspace(-5, -1, 100)
x2 = np.linspace(1, 5, 100)
x = np.linspace(-5, 5, 200)
plt.fill_between(x1, rv1.pdf(x1), y2=0.0, color="coral")
plt.fill_between(x2, rv1.pdf(x2), y2=0.0, color="coral")
plt.plot(x, rv1.pdf(x), color="black", linewidth=2.0, label="N(0,1)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim([-5, 5])
plt.ylim([-0.0, 0.5])
plt.title("normal distribution")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()总结
我们引入了一个新的分布描述量：方差。它用于表示分布的离散程度。
标准差为方差的平方根。
方差越大，“极端区间”偏离中心越远。