基础野:细说原码、反码和补码

Brief                             

  说来惭愧虽然刚接触计算机时已经学过原码、反码和补码的内容,但最近重温时却发现“这是什么鬼东西”,看来当初只是应付了考试了而已。本篇将试图把他们说个明白,以防日后自己又忘记了。

  在深入之前,我们先明确以下几点:

  1. 本篇内容全部针对有符号数整数;

  2. 对于有符号数整数,其在计算机中的存储结构是 符号位 + 真值域。其中符号位为0表示正数,1表示负数;

  3. Q:既然已经有原码,那么为什么还要出现反码、补码等数值的编码方式呢?

      A:由于为了降低当时计算机物理电路的设计难度,决定采用加法代替减法运算(因此计算机内部是没有减法运算的),即10-5被替换为10+(-5),而反码、补码就用于解决10+(-5)的问题的。

True Form                          

  原码(称为true form、sign-magnitude 或 sign and magnitude),就是直接将十进制数转换为二进制数形式。如7的原码为0111,-6的原码为1110。

  注意:

  1. 原码是区分+0和-0的,+0的原码为0000;-0的原码为1000;

  2. 若存储空间为n bit,则原码的取值范围是 -2n-1 ~ 2n-1。

  原码在以加法代替减法的运算中引起的问题:

        例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001 + 1001 = 1010 = -2, 发现通过原码来运算时居然会得到0 == -2的结果。于是引入了反码。

  一般用于IEEE 754浮点数标准中尾数(significant)的表示。

Ones' Complement                      

  原码转换成反码的规则如下:

    1. 正整数原码的反码是其自身。如原码0001的反码是0001;

    2. 负整数原码的反码则是对原码真值域的个位数取反即可。如原码1010的反码是1101。

  那么将反码转换为原码的规则如下:

    1. 正整数反码的反码是其自身。如反码0001的原码是0001;    

    2. 负整数反码的原码则是对反码真值域的个位数取反即可。如反码1101的原码是1010。

  注意:

  1. 反码是区分+0和-0的,+0的反码为0111;-0的反码为1111;

  2. 若存储空间为n bit,则反码的取值范围是 -2n-1 ~ 2n-1。

  反码在以加法代替减法的运算中引起的问题:         例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001【原码】 + 1001【原码】 = 0001【反码】 + 1110【反码】= 1111【反码】 = 1000【原码】 = -0, 发现通过反码来运算时居然会得到0 == -0的结果。

        看到采用反码运算的结果已经非常接近正确结果,但-0对于我们来说还是没有太多的意义。于是引入了补码。

Two's Complement                      

  原码转换成补码的规则如下:

    1. 正整数原码的补码是其自身。如原码0001的补码是0001;

    2. 负整数原码的补码则是对原码真值域的个位数取反后,整体+1即可。如原码1010的补码是1110。

  那么将补码转换为原码的规则如下:

    1. 对补码再求一次补码则得到原码。

  取补码的流程发生在符号变化时,也就是正、负数间转换。如-(1),-(-1)等。

  具体流程如下:

    1. 符号位取反;

    2. 真值域取反;

    3. 整体+1。

  因此在进行-(1)运算时,步骤如下(1的补码是0001):

    1. 符号位取反——1001

    2. 真值域取反——1110

    3. 整体+1——1111

    或将步骤1和2合并为对各位取反——1110,然后整体+1——1111

  在进行-(-1)运算时,步骤如下(-1的补码是1111):

    1. 符号位取反——0111

    2. 真值域取反——1000

    3. 整体+1——1001

    或将步骤1和2合并为对各位取反——1000,然后整体+1——1001

  注意:

  1. 补码是不区分+0和-0的,+0和-0的补码为0000;

  2. 若存储空间为n bit,则反码的取值范围是 -2n ~ 2n-1。

  3. 原码  + 其补码 = 0。

  补码在以加法代替减法的运算的结果:

  例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001【原码】 + 1001【原码】 = 0001【反码】 + 1110【反码】= 0001【补码】+ 1111【补码】 = 0000【补码】 = 0000【原码】=0, 发现通过补码来运算时结果恰恰正确。

真相:有符号整数其实是以补码的编码方式存储的。因此C语言的int类型在32位OS上的值范围是:-2n ~ 2n-1。我们可以通过以下的C代码片段要验证:

#include <stdout.h>
#include <string.h>

int main(){
  int f = -1;
  unsigned long l;
  int i;
  char s[32];

  memcpy(&l, &f, 4);

  for (i = 31; i >=0; --i){
       if (l % 2 == 1){
         s[i] = '1';
       }
       else{
         s[i] = '0';
       }
       l /= 2;
  }
  s[32] = '\0';
  printf("%s\n", s);
  return 0;
}

  标准输出为:11111111111111111111111111111111(若为原码则应该是10000000000000000000000000001)

  到这里我们对原码、反码和补码有一定程度的了解,并通过死记硬背的传统学习方法答对考题应该就不成问题了。但若要自圆其说则不可避免地需要解答以下问题:

  1. 为什么补码的方式能解决以加法替代减法时所产生的问题?

  下面我们一起来探讨和推导一下吧。

Theory                            

  Modulus

,是指一个计量系统的计数范围,而模则是产生“溢出”的量。

      以时钟为例,时钟的计数范围是0~11,而模(产生“溢出”的量)是12。现在我们将时针从4点逆时针移动2格,和顺时针移动10格,得到的结果均是一样的。以算术公式表示则是4-2和4+10,一眼看出4-2明显不等于4+10,那为什么时钟上两者结果却是相同的呢?

      那是“模”在作怪。当运算结果超出计数范围时,则会执行求模运算,4+10=14>12,12求模后得到2=4+(-2)。这时你会发现负数的补数必定是正数,那么就解决了需要以正数表示负数的需求。接下来就要验证以补数解决以正数表示负数后,参与加法运算是否有问题了。

      在深入之前,请大家先了解一下理论:

补数/补码/二补码,若A、B除以M为模执行求模运算后的结果相等,则A与B互为补数,公式:a≡b(mod m)。

求模公式:mod = a - m * La/mJ,其中LJ代表“取下界”符号。(注意:%是取余而不是取模数的运算符,而求模和取余在本质上是不同的)

         以下以JS来描述

/**
 * @description 求模
 * @method mod
 * @public
 * @param {Number} o - 操作数
 * @param {Number} m - 模,取值范围:除零外的数字(整数、小数、正数和负数)
 * @returns {Number} - 取模结果的符号与模的符号保持一致
 */
var mod = (o/*perand*/, m/*odulus*/) => {
    if (0 == m) throw TypeError('argument modulus must not be zero!')
    return o - m * Math.floor(o/m)
}

/**
 * @description 求余
 * @method rem
 * @public
 * @param {Number} dividend - 除数
 * @param {Number} divisor - 被除数,取值范围:除零外的数字(整数、小数、正数和负数)
 * @returns {Number} remainder - 余数,符号与除数的符号保持一致
 */
var rem = (dividend, divisor) => {
    if (0 == divisor) throw TypeError('argument divisor must not be zero!')
    return dividend - divisor * Math.trunc(dividend/divisor)    
}

补数定理

    1. 反身性:a≡a(mod m)

    2. 对称性:若a≡b(mod m)。则b≡a(mod m)

    3. 传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m)。则a≡c(mod m)

    4. 补数式相加:若a≡b(mod m), c≡d(mod m)。则a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m)

    5. 补数式相乘:若a≡b(mod m), c≡d(mod m)。则ac≡bd(mod m)

    6. 互为补数的绝对值相加等于模数:若a≡b(mod m),则m = |a| + |b|

               示例1:对于有符号数-3(采用补码编码:1101),模m为8(由于最左一位是符号位,不列入模中),对-3取补得到-5(采用补码编码:1011)。

          得到8=|-3| + |-5|。

    7. 若a、b均为正数,则mod(a + b, m) = mod(a, m) + mod(b, m)

Derivation

  有了上述模数的理论后我们可以挽起衣袖开始推导了!

  首先假设现在以n位二进制位来存储数据,其中最左一位为符号位,那么模则是2n-1。然后以a表示某正整数,b表示某负整数,并且c为b的补数。

      1. 整理出 b≡c(mod 2n-1),a≡(mod 2n-1)

  2. 根据补数式相加得到 a+b≡a+c(mod 2n-1)

  3. 即 mod(a+b, 2n-1) = mod(a+c, 2n-1)

     4. 回顾模的定义“模,是指一个计量系统的计数范围,而模则是产生“溢出”的量”,可知当运算过程中产生“溢出”操作,实质上就是执行取模运算。而我们的存储空间是固定为n位二进制位,因此运算的最后一步默认就是取模运算。因此a+b与a+c在存储空间固定的前提下,最终结果必然相等。

     上面已经证明了以补数来实现减法加法化,以正数表示负数的有效性。那下面我们来看看将原码转换为补码的规则为什么是成立的。

     假设以n位二进制位来存储数据,其中最左一位为符号位

    模 = 2n-1 = 1 + 1*2 + 1*22 + ...... + 1*2n-2 + 1

    某负数原码a = k0 + k1*2 + k2*22 + ...... + kn-2*2n-2

  根据“互为补数的绝对值相加等于模数:若a≡b(mod m),则m = |a| + |b|”

     a的补码 = 2n-1 - a = (1-k0) + (1-k1)*2 + (1-k2)*22 + ...... + (1-kn-2)*2n-2 + 1

      由于k0,k1等的值不是0就是1,因此等价于作取反操作,然后最后再加1。

Conclusion                          

  ANSI C标准中并没有规定必须用补码来表示有符号整数,但几乎所有实现都采用补码的表示方式。而Java则规定采用补码表示有符号整数。

  本文尝试以相对全面的角度描述原码、反码和补码,若有纰漏请给位指正。

Thanks                            

http://baike.baidu.com/link?url=aGfE7C12rMLNpPVdMZcKlS9JkQnMRe9iiiUUTnQzLSO8PkKE5dbPtf_dtTUwDORVIehhAJ6jr4BK6v0JfyW9l_#4

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