专栏首页老马说编程计算机程序的思维逻辑 (4) - 整数的二进制表示与位运算

计算机程序的思维逻辑 (4) - 整数的二进制表示与位运算

上节我们提到正整数相乘的结果居然出现了负数,要理解这个行为,我们需要看下整数在计算机内部的二进制表示。

十进制

要理解整数的二进制,我们先来看下熟悉的十进制。十进制是如此的熟悉,我们可能已忽略了它的含义。比如123,我们不假思索就知道它的值是多少。

但其实123表示的1*(10^2) + 2*(10^1) + 3*(10^0),(10^2表示10的二次方),它表示的是各个位置数字含义之和,每个位置的数字含义与位置有关,从右向左,第一位乘以10的0次方,即1,第二位乘以10的1次方,即10,第三位乘以10的2次方,即100,依次类推。

换句话说,每个位置都有一个位权,从右到左,第一位为1,然后依次乘以10,即第二位为10,第三位为100,依次类推。

正整数的二进制表示

正整数的二进制表示与此类似, 只是在十进制中,每个位置可以有10个数字,从0到9,但在二进制中,每个位置只能是0或1。位权的概念是类似的,从右到左,第一位为1,然后依次乘以2,即第二位为2,第三位为4,依次类推。

看一些数字的例子吧:

二进制

十进制

10

2

11

3

111

7

1010

10

负整数的二进制表示

十进制的负数表示就是在前面加一个负数符号-,例如-123。但二进制如何表示负数呢?

其实概念是类似的,二进制使用最高位表示符号位,用1表示负数,用0表示正数。

但哪个是最高位呢?整数有四种类型,byte/short/int/long,分别占1/2/4/8个字节,即分别占8/16/32/64位,每种类型的符号位都是其最右边的一位。

为方便举例,下面假定类型是byte,即从右到左的第8位表示符号位。

但负数表示不是简单的将最高位变为1,比如说:

  • byte a = -1,如果只是将最高位变为1,二进制应该是10000001,但实际上,它应该是11111111。
  • byte a=-127,如果只是将最高位变为1,二进制应该是11111111,但实际上,它却应该是10000001。

和我们的直觉正好相反,这是什么表示法?这种表示法称为补码表示法,而符合我们直觉的表示称为原码表示法,补码表示就是在原码表示的基础上取反然后加1。取反就是将0变为1,1变为0。

负数的二进制表示就是对应的正数的补码表示,比如说:

  • -1:1的原码表示是00000001,取反是11111110,然后再加1,就是11111111。
  • -2:2的原码表示是00000010,取反是11111101,然后再加1,就是11111110
  • -127:127的原码表示是01111111,取反是10000000,然后再加1,就是10000001。

给定一个负数二进制表示,要想知道它的十进制值,可以采用相同的补码运算。比如:10010010,首先取反,变为01101101,然后加1,结果为01101110,它的十进制值为110,所以原值就是-110。

byte类型,正数最大表示是01111111,即127,负数最大表示是10000000,即-128,表示范围就是 -128到127。其他类型的整数也类似,负数能多表示一个数。

负整数为什么采用补码呢?

负整数为什么要采用这种奇怪的表示形式呢?原因是:只有这种形式,计算机才能实现正确的加减法。

计算机其实只能做加法,1-1其实是1+(-1)。如果用原码表示,计算结果是不对的。比如说:

1 -> 00000001

-1 -> 10000001

+ ------------------

-2 -> 10000010

用符合直觉的原码表示,1-1的结果是-2。

如果是补码表示:

1 -> 00000001

-1 -> 11111111

+ ------------------

0 -> 00000000

结果是正确的。

再比如,5-3:

5 -> 00000101

-3 -> 11111101

+ ------------------

2 -> 00000010

结果也是正确的。

就是这样的,看上去可能比较奇怪和难以理解,但这种表示其实是非常严谨和正确的,是不是很奇妙?

理解了二进制加减法,我们就能理解为什么正数的运算结果可能出现负数了。当计算结果超出表示范围的时候,最高位往往是1,然后就会被看做负数。比如说,127+1:

127 -> 01111111

1 -> 00000001

+ ------------------

-128 ->10000000

计算结果超出了byte的表示范围,会被看做-128。

十六进制

二进制写起来太长,为了简化写法,可以将四个二进制位简化为一个0到15的数,10到15用字符A到F表示,这种表示方法称为16进制,如下所示:

2进制

10进制

16进制

1010

10

A

1011

11

B

1100

12

C

1101

13

D

1110

14

E

1111

15

F

可以用16进制直接写常量数字,在数字前面加0x即可。比如10进制的123,用16进制表示是0x7B,即123 = 7*16+11。给整数赋值或者进行运算的时候,都可以直接使用16进制,比如:

int a = 0x7B;

Java中不支持直接写二进制常量,比如,想写二进制形式的11001,Java中不能直接写,可以在前面补0,补足8位,为00011001,然后用16进制表示,即 0x19。

查看整数的二进制和十六进制表示

在Java中,可以方便的使用Integer和Long的方法查看整数的二进制和十六进制表示,例如:

int a = 25; 
System.out.println(Integer.toBinaryString(a)); //二进制
System.out.println(Integer.toHexString(a));  //十六进制
System.out.println(Long.toBinaryString(a)); //二进制
System.out.println(Long.toHexString(a));  //十六进制

位运算

位运算是将数据看做二进制,进行位级别的操作,Java不能单独表示一个位,但是可以用byte表示8位,可以用16进制写二进制常量。比如: 0010表示成16进制是 0x2, 110110表示成16进制是 0x36。

位运算有移位运算和逻辑运算。

移位有:

  • 左移:操作符为<<,向左移动,右边的低位补0,高位的就舍弃掉了,将二进制看做整数,左移1位就相当于乘以2。
  • 无符号右移:操作符为>>>,向右移动,右边的舍弃掉,左边补0。
  • 有符号右移:操作符为>>,向右移动,右边的舍弃掉,左边补什么取决于原来最高位是什么,原来是1就补1,原来是0就补0,将二进制看做整数,右移1位相当于除以2。

例如:

int a = 4; // 100
a = a >> 2; // 001,等于1
a = a << 3 // 1000,变为8

逻辑运算有:

  • 按位与 &:两位都为1才为1
  • 按位或 |:只要有一位为1,就为1
  • 按位取反 ~: 1变为0,0变为1
  • 按位异或 ^ :相异为真,相同为假

大部分都比较简单,就不详细说了。具体形式,例如:

int a = ...; 
a = a & 0x1 // 返回0或1,就是a最右边一位的值。

a = a | 0x1 //不管a原来最右边一位是什么,都将设为1

小结

本节我们讨论了整数的二进制表示,需要注意的就是负数的二进制表示,以及计算机进行二进制加减操作的过程,从而我们就能理解为什么有的时候正整数计算会出现负数。

我们同样讨论了整数的位运算,需要注意的就是无符号右移和有符号右移的区别。

理解了整数,那小数呢?

本文分享自微信公众号 - 老马说编程(laoma_shuo)

原文出处及转载信息见文内详细说明,如有侵权,请联系 yunjia_community@tencent.com 删除。

原始发表时间:2016-04-09

本文参与腾讯云自媒体分享计划,欢迎正在阅读的你也加入,一起分享。

我来说两句

0 条评论
登录 后参与评论

相关文章

  • (27) 剖析包装类 (中) / 计算机程序的思维逻辑

    本节继续探讨包装类,主要介绍Integer类,下节介绍Character类,Long与Integer类似,就不再单独介绍了,其他类基本已经介绍完了,不再赘述。 ...

    swiftma
  • 计算机程序的思维逻辑 (5) - 小数计算为什么会出错?

    违反直觉的事实 计算机之所以叫"计算"机就是因为发明它主要是用来计算的,"计算"当然是它的特长,在大家的印象中,计算一定是非常准确的。但实际上,即使在一些非常...

    swiftma
  • (94) 组合式异步编程 / 计算机程序的思维逻辑

    前面两节讨论了Java 8中的函数式数据处理,那是对38节到55节介绍的容器类的增强,它可以将对集合数据的多个操作以流水线的方式组合在一起。本节继续讨论Java...

    swiftma
  • Oracle数据库恢复:归档日志损坏案例一则

    链接:http://www.eygle.com/archives/2010/11/recover_archivelog_corruption.html

    数据和云01
  • golang之包和锁的机制

    超蛋lhy
  • [Python] xrange和range的使用区别

    原文链接:http://blog.csdn.net/humanking7/article/details/45950967

    祥知道
  • 怎么用打印机扫描 打印机扫描怎么扫描

    关下打印机盖子。(扫描的时候 感光鼓会有光线感应,关下盖子才能更好质量的扫描出文件或照片)

    用户8052652
  • 为什么C语言屹立不倒?

    近年来,谷歌一直致力于开发出自己的编程语言以取代当今世上最常用的C、C++和JavaScript。在系统语言方向,谷歌的Go语言能够为用户在数据中心内建立大型软...

    程序员互动联盟
  • 3段认同的理念

    崔文远TroyCui
  • CSS_浮动排版布局

    当在排版布局时,abc都用了float,此时abc相当于脱离父元素浮出来了,但是d没有使用浮动,就会出现d的一部分处在abc的下面(因为abc浮上去了),d就被...

    bye

扫码关注云+社区

领取腾讯云代金券