零基础学编程041：欧拉公式的几何意义

欧拉公式号称是最美的出自上帝之手的数学公式，即

，这个公式里 e 和 π 都是无理数，i 是 -1 的平方根，是一个虚数，0和1是最简单的整数，欧拉公式把它们联系在一起。

下面我们来理解一下它的几何含义，并用Python中的小海龟把它画出来。

利用级数展开的公式可以有下面的推导过程：

因为这个数列中含有虚数 i，所以可以把上面的每一项看作是复平面上的一个向量。

第0项：1，表示从(0, 0)点出发沿x轴前进1个单位。

第1项：iπ ，把其中的 i 理解为逆时针旋转90度，这样就是在垂直方向上前进 π 个单位。

第2项，再旋转90度，前进 (π*π / 2) 个单位。

……

最后这个无数级数的和为(-1)，表示最后逼近(-1, 0)这个点。神秘的欧拉公式的几何含义就是这么简单！

用小海龟画出欧拉公式的几何含义

先复习一下《零基础学编程014：小海龟做画》这一课中的画图基本命令：

import turtle
turtle.forward(100) # 前进100个单位
turtle.left(90) # 左转90度

第0项：

turtle.forward(1) 

第1项，这里用到了数学包math中的pi，你不用写3.1415926了：

turtle.left(90)
turtle.forward(math.pi) 

第2项，还记得运算符 ** 是什么意思吧？

turtle.left(90)
turtle.forward((math.pi ** 2) / 2) 

第3项，分母是3的阶乘，需要用到数学函数math.factorial()：

turtle.left(90)
turtle.forward((math.pi ** 3) / math.factorial(3)) 

现在我们已经找到规律了，假设我们循环16次，就是range(1,17)，每一层的循环只需要执行这两步就可以了：

for i in range(1,17) :
    turtle.left(90)
    turtle.forward((math.pi ** i) / math.factorial(i))

这里小海龟的默认画布是以像素为单位的，前进1、2个像素看不出效果，需要把画布的坐标范围设置一下，在图形世界里称为世界坐标系。下面的语句表示画布的左下角坐标是(-5,-5)，右上角坐标是(5,5)：

setworldcoordinates(-5, -5, 5, 5)

最后的代码是这样的：

import turtle
import math

setworldcoordinates(-5, -5, 5, 5)
turtle.forward(1) 
for i in range(1,17) :
    turtle.left(90)
    turtle.forward((math.pi ** i) / math.factorial(i))

我加上了坐标系和两个参考点，最后的图形是这样的：

小海龟从原点出发，每走一次，左转90度，很快就收敛到(-1, 0)这一点。

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