《Redis设计与实现》读书笔记(三十五) ——Redis 二进制位数组及SWAR汉明重量算法

《Redis设计与实现》读书笔记(三十五) ——Redis 二进制位数组及SWAR汉明重量算法

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一、基本概念

redis提供了setbit、getbit、bitcount、bitop四个命令用于处理二进制数组,称为bit array,又叫位数组。

setbit命令用于位数组指定偏移量上的二进制设置值,偏移量从0开始计算,值可以是0或者是1。

getbit获取指定位置上的值。

bitcount统计位数组里面,值为1的二进制位的数量。

bitop可以有and、or、xor,即与、或、异或的位运算。

二、位数组的表示

redis使用字符串对象sds来表示位数组,因为其数据结构是二进制安全的。因此,其末尾也会用\0来表示结尾。

一字节长度的位数组,在结构中表示如下:

其中,buf[0]存放1字节的二进制数组,即长度是8位的二进制数组。buf[1]空字符即是\0。

为了便于查看,采用如下方式:

需要注意的是,实际上保持的数据,和日常习惯是相反的,如上图中,实际上保存的是二进制数01001101。采用逆序保存是为了便于setbit的实现。

三、getbit实现

getbit返回位于数组bitarray的offset偏移量的值,命令即getbit <bitarray> <offset>。命令执行流程如下:

1)计算byte=offset/8,向下取整。该值记录了保存在offset偏移量的位数保存在哪个字节中,即上述的获取buf数组的下标。

2)计算bit=(offset mod 8)+1,获取二进制的位数是哪一位,即上述buf[byte]数组具体的位置。

3)根据上述的结果,获取buf[byte][bit]的值。

4)将结果返回给客户端。

例如对于某个二进制数组,getbit<bitarray> 10:

getbit所有操作都可以在常数时间完成,时间复杂度是O(1)。

四、setbit实现

1、普通setbit

setbit设置位于数组bitarray的offset偏移量的值为value,命令即setbit <bitarray> <offset> <value>。命令执行流程如下:

1)执行getbit的1、2两步,确定需要修改的二进制的具体位置。

2)获取对应位置的值进行暂存到oldvalue,并且将新的值设置进去。

3)将oldvalue返回给客户端。

setbit时间复杂度也是O(1)。

2、带扩展操作的setbit

当设置的offset计算出的byte的结果超出现有的数组长度,即buf[byte]的下标超出现有的范围,则需要扩展。

例如,现有是1个字节,执行setbit<bitarray> 12 1,则算出byte=12/8取整,值是1,但是当前不存在buf[1],则redis会新开辟空间。另外,redis基于redis开辟空间的策略(以前文章有提到),会扩展到5字节,剩余的空间是预留空间。

接着,按照前面的方式setbit,并返回旧的bit值。

由于redis采用逆序保存二进制数组,因此在对buf进行扩展后,可以直接将值设置到对应的bit,而不必改动现有的二进制位。如果是采用顺序方式保存,则每次扩展后,需要将位数组中已有的位进行移动,然后才能执行写入操作,则过程复杂。

五、bitcount实现

bitcount返回给定二进制数组中,值为1的二进制位的数量。例如对于下图,返回的结果是12。

实现统计几个1,redis中用到一些有趣的算法。

1、遍历算法

遍历算法是最简单但也最低效的方法,即遍历每个二进制位,当是1的时候,计数器加1。

这种算法中,遍历100MB长度的二进制数组,需要执行操作近8亿次。

2、查表法

对于一个集合来说,集合元素的排列方式是有限的;对于一个有限长度的数组来说,它能表示的二进制位的排列也是有限的。

根据上述原理,可以创建一个表,表的键为某种排列的位数组,值是1的二进制位的数量。例如下图是以8位长度作为键的表。

创建这个表后,则无需对位数组进行检查,只要查表就可以知道结果。利用上述的8位长度的表,每次可以查出8位二进制的1的数量,进而100MB长度的二进制数组,查找的次数减少到1亿次。

同理,如果创建一个更大的表,如16位的表,则1次可以查出16位二进制数组的1的数量,进而100MB长度只需要5000万次查找。

理论上来说,是可以创建一个足够大的表,则查询的次数可以降到很低,但是表会收到实际情况的限制:

1)查表法是典型的以空间换时间的方式,节约计算时间带来的是花费更多的内存,创建键长度为16位的二进制表,只需要几百KB;而32位,则需要超过10GB。通常服务器接受几百KB消耗还可以,但是十几个GB难以接受。

2)除了内存消耗,查表法的效果还会收到CPU缓存的限制。对于固定大小的缓存来说,创建的表格越大,CPU能保存的缓存的内容相比整个表格的比例就越少,查表的缓存不命中的概率越高,导致缓存的换入换出频繁切换,影响实际效率。

因此,要使用查表法,通常会建立8位或者16位的表。

3、variable-precisionSWAR算法

bitcount需要实现的计算二进制位的数量,在数学上称为计算汉明重量。目前最好的算法是variable-precision SWAR,该算法通过一系列的位移和位运算操作,可以在常数时间内计算多个字节的汉明重量,并且不需要耗费额外的内存。

算法如下:

uint32_t swar(uint32_t i){
//步骤1
i = (i & 0x55555555) + ((i >> 1) &0x55555555);
//步骤2
i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) &0x33333333);
//步骤3
i = (i & 0x0F0F0F0F) + ((i >> 4) &0x0F0F0F0F);
//步骤4
i = (i * (0x01010101) >> 24);
}

具体说明如下:

1)步骤1

计算出值i的二进制表示,可以按每两个二进制位为一组进行分组,各组的十进制位就表示该组的汉明重量。

解释:

0x55555555 = 0b01010101010101010101010101010101,可以看到奇数位都是1,偶数位都是0。

因此,假设j = i& 0x55555555,即j的偶数位都是0,奇数位是原始i的奇数位的1的数量。

(i >> 1) & 0x55555555,是将i右移一位以后,此时得到的临时变量还是奇数位的1和i右移后的奇数位的1的数量一样。因此,也就是i右移之前的i的偶数位的1的数量。

因此,这两个数相加以后,得到的是两位一组的情况下,每两位的二进制位中1的数量。

2)步骤2

计算出值i的二进制表示,可以按每四个二进制位为一组进行分组,各组的十进制位就表示该组的汉明重量。

因为0x33333333= 0b00110011001100110011001100110011,具体过程同第一步。

3)步骤3

计算出值i的二进制表示,可以按每八个二进制位为一组进行分组,各组的十进制位就表示该组的汉明重量。

因为0x0F0F0F0F= 00001111000011110000111100001111,具体过程同第一步。

4)步骤4

i * (0x01010101) 计算出的是bitarray的汉明重量,并记录在二进制位的最高八位。通过>>24右移运算,将汉明重量移动到最低八位。得到的结果就是最终的结果。

这个要分两步来理解。

0x01010101 = 00000001000000010000000100000001 = (1 << 24) + (1<< 16) + (1 << 8) + 1,因此,

k * 0x01010101 = (k << 24) + (k << 16) + (k << 8)+ k

由于前三步已经将结果分好组,这一步即求出每组上面二进制的值即可。

至于右移24位,只是将结果移到最低位而已。

该算法每次执行,可以计算长度为32位的二进制数组。上面提到用查表法的时候,32位需要耗费内存超过10GB,无法接受。而采用此方式,不需要额外耗费内存,而速度又是查表法的2倍。

另外,再每次循环总的数组的时候,调用1次swar就相当于32位,但是如果调用4次,将等于128位的计算。当然,多次调用是有极限的,一旦循环中处理的位数组大小超过了缓存的大小,这种优化效果会降低。

4、redis的实现

redis的bitcount,同时实现了查表法和swar算法。查找法使用8位长度的表,swar方面使用每个循环调用4次,即128位。

在执行bitcount的时候,redis会根据二进制位的数量。如果大于128位,则用swar;否则用查表法。

基本流程是,先将二进制位数组转换成无符号整数;再判断其长度,对于大于128位的,循环中调用swar算法,每次循环调用四次算法,并且总长度减去128位;如果长度小于8位,则调用查找表算法,每次调用1次8位表,并且总长度减去8位。

bitcount的时间复杂度是O(n),n是二进制位数组的长度。使用swar时,共需要循环n/128向下取整次;使用查找表,共需要循环n mod 128次。

六、bitop实现

bitop接受选项and、or、xor、not,分别对应c语言中的&、|、^、~。

例如,键x、y分别保存的二进制位,如下图左右图所示。

执行bitop andresult x y,流程如下:

1)创建一个空白数组value,用于保存and操作的结果。

2)分别对两个数组的buf[0]~buf[2]进行&的计算,将结果分别保存在新的value中的buf[0]~buf[3]。

and、or、xor选项支持多个键,但是not只支持1个键的计算。

七、总结

1、redis使用sds数据结构来保存二进制位数组,每1个字节(8位)保存在buf的一个数组中,且采用逆序的方式保存。

2、bitcount结合查找表和swar算法实现,当数组长度超过128位用swar,否则用查找表。

——written by linhxx 2017.10.01

原文发布于微信公众号 - 决胜机器学习(phpthinker)

原文发表时间:2017-10-01

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