解题思想:
采用分治法解决该问题。分治法是把一个规模很大的问题分解为多个规模较小、类似的子问题,然后递归地解决所有子问题,最后再由子问题的解决得到原问题的解决。
所以将2k*2k的棋盘,先分成相等的四块子棋盘,其中特殊方格位于四个中的一个,构造剩下没特殊方格三个子棋盘:将一块骨牌放在这三个小棋盘的交界处,使骨牌的每一个方格都作为三个小棋盘的特殊方格,骨牌具体放法如下:
public class Chess {
/** 棋盘的规格 */
public static int SIZE = 8;
/** 特殊格子的竖坐标(从零开始) */
public static int TR = 1;
/** 特殊格子的横坐标(从零开始) */
public static int TC = 1;
/** 模拟棋盘 */
static int[][] board;
/** 模拟骨牌(相同数字为同一块骨牌) */
static int tile = 1;
/**
* 棋盘覆盖问题
* @param dr 左上角方格行号
* @param dc 左上角方格列号
* @param tr 特殊方格行号
* @param tc 特殊方格列号
* @param size 2的正整数次方
*/
public static void chessBoard(int dr, int dc, int tr, int tc, int size) {
if (size == 1) {
return;
}
int t = tile++;
/** 分割棋盘后的size */
int s = size / 2;
// 判断特殊方格是否在左上角的小棋盘中
if (tr < dr + s && tc < dc + s) {
chessBoard(dr, dc, tr, tc, s);
} else {
board[dr + s - 1][dc + s - 1] = t;
chessBoard(dr, dc, dr + s - 1, dc + s - 1, s);
}
// 判断特殊方格是否在右上角的小棋盘中
if (tr < dr + s && tc >= dc + s) {
chessBoard(dr, dc + s, tr, tc, s);
} else {
board[dr + s - 1][dc + s] = t;
chessBoard(dr, dc + s, dr + s - 1, dc + s, s);
}
// 判断特殊方格是否在左下角的小棋盘中
if (tr >= dr + s && tc < dc + s) {
chessBoard(dr + s, dc, tr, tc, s);
} else {
board[dr + s][dc + s - 1] = t;
chessBoard(dr + s, dc, dr + s, dc + s - 1, s);
}
// 判断特殊方格是否在youxia角的小棋盘中
if (tr >= dr + s && tc >= dc + s) {
chessBoard(dr + s, dc + s, tr, tc, s);
} else {
board[dr + s][dc + s] = t;
chessBoard(dr + s, dc + s, dr + s, dc + s, s);
}
}
public static void main(String[] args) {
// init parameter
try{
if(args[0]!=null){
SIZE = Integer.parseInt(args[0], 10);
}
if(args[1]!=null){
TR = Integer.parseInt(args[1], 10);
}
if(args[2]!=null){
TC = Integer.parseInt(args[2], 10);
}
}catch(Exception e){
System.out.print("\t(部分)采用默认参数");
}
System.out.printf("\t棋盘规模:%d*%d",SIZE,SIZE);
System.out.printf("\t特殊方格:(%d,%d)",TR,TC);
// 初始化棋盘
board = new int[SIZE][SIZE];
// 调用方法进行测试
chessBoard(0, 0, TR, TC, SIZE);
// 显示棋盘结果
for (int[] is : board) {
System.out.println();
for (int i : is) {
System.out.printf("%4d", i);
}
}
}
}
效果截图:
算法复杂性分析:
设T(k)是此算法所需的时间,则根据分治法可知:
解此递归方程可得,T(k)=O(4k)。由于覆盖2k*2k的棋盘所需的骨牌个数为(4k-1)/3,所以此算法是一个渐进意义下最优算法。