算法之逆序对

算法之逆序对

逆序对问题

​ 假设A[1..n]是一个有n个不同数的数组。若iA[j],则对偶(i, j)称为A的一个逆序对(inversion)。

  1. 列出数组{2, 3, 8, 6, 1}的5个逆序对
  2. 由集合{1, 2, ..., n}中的元素构成的什么数组具有最多的逆序对?它有多少逆序对?
  3. 插入排序的运行时间与输入数组中的逆序对的数量有什么关系?
  4. 给出一个求在n个元素的任何排列中逆序对数量的算法,最坏时间复杂度为: \(\Theta\)(nlgn)
  5. 根据定义易得,逆序对为:(2, 1)、(3, 1)、(8, 6)、(8, 1)、(6, 1)
  6. 当数组元素恰好为n个元素从大到小排列时,拥有最多的逆序对。此时逆序对为: (n - 1) + (n -2) + (n - 3) + ... + 1 = n(n - 1) / 2
  7. 根据插入排序的实现过程,不难得出每次从未排序数组选择一个值arr[j]插入已排序数组的时候,所需要的移动次数,即为以arr[j]为右侧值的逆序对的个数。这个特性也可以设计出一个时间复杂度为: \(\Theta\)(\(n^2\))的算法。当然这种指数级别复杂度的算法我们直接PASS
  8. 不难想到\(\Theta\)(nlgn)算法复杂度的归并排序。其实归并排序在分治的时候不会改变逆序对的个数。只有在合并的时候,才会因为逆序对的出现导致右侧提前被合入原数组。其实修改点主要在两个方面:
  • 声明一个全局变量用来存储总的次数
  • 在右侧提前被合入原数组的时候对总次数进行累加(只需要改归并排序的merge方法, 归并排序请参照http://www.cnblogs.com/Kidezyq/p/8379267.html

具体源代码如下:

private static int count;

private static void merge(int[] arr, int startIndex, int midIndex, int endIndex) {
    /**
     * 合并策略: 
     * 1. 新建两个数组,分别存取左半部分排好序的数组和右半部分排好序的数组
     * 2. 分别从左右两个数组最开始下标开始遍历,选取较小的依次放入原数组对应位置
     * 3. 最终如果左右数组中有一个已经遍历完成,另一个数组所剩的元素直接放入元素组后面部分即可
     */
    // STEP1
    int[] leftArr = new int[midIndex - startIndex];
    int[] rightArr = new int[endIndex - midIndex];
    System.arraycopy(arr, startIndex, leftArr, 0, leftArr.length);
    System.arraycopy(arr, midIndex, rightArr, 0, rightArr.length);
    
    // STEP2
    int k = startIndex; // 存储原数组中的下标
    int i = 0;          // 存储左边数组的下标
    int j = 0;          // 存储右边数组的下标
    while (i < leftArr.length && j < rightArr.length) {
        // 将较小的元素复制到元素组对应下标k,并且移动较小元素所在数组下标
        if (leftArr[i] < rightArr[j]) {
            arr[k++] = leftArr[i++];    
        } else {
            // 此时说明 arr[i]到arr[leftArr.length - 1]的值都比arr[j]大,即此时以arr[j]结尾的逆序对个数为: 
            count += leftArr.length - i;
            arr[k++] = rightArr[j++];
        }
    }
    
    // STEP3
    if (i < leftArr.length) {
        System.arraycopy(leftArr, i, arr, k, leftArr.length - i);
    } else if (j <= rightArr.length) {
        System.arraycopy(rightArr, j, arr, k, rightArr.length - j);
    }
}

本文参与腾讯云自媒体分享计划,欢迎正在阅读的你也加入,一起分享。

发表于

我来说两句

0 条评论
登录 后参与评论

相关文章

来自专栏WOLFRAM

向日葵中的数学之美

1833
来自专栏搞前端的李蚊子

Html5模拟通讯录人员排序(sen.js)

// JavaScript Document  var PY_Json_Str = ""; var PY_Str_1 = ""; var PY_Str_...

5936
来自专栏杨建荣的学习笔记

一条sql语句的建议调优分析(r5笔记第73天)

前几天开发的同事问我一个sql的问题,目前在测试环境中发现这条sql语句执行时间很长,希望我们能够给一些建议,能够尽快做一些改进。 sql语句类似下面的形式。 ...

2817
来自专栏MelonTeam专栏

Bitmap 源码阅读笔记

导语: Android 系统上的图片的处理,跟Bitmap 这个类脱不了关系,我们有必要去深入阅读里面的源码,以便在工作中能更好的处理Bitmap相关的问题...

2518
来自专栏linux驱动个人学习

高通msm8909耳机调试

1、DTS相应修改: DTS相关代码:kernel/arch/arm/boot/dts/qcom/msm8909-qrd-skuc.dtsi: 1 s...

7525
来自专栏linux驱动个人学习

高通Audio中ASOC的machine驱动

ASoC被分为Machine、Platform和Codec三大部分,其中的Machine驱动负责Platform和Codec之间的耦合以及部分和设备或板子特定的...

9774
来自专栏前端儿

Web 前端颜色值--字体--使用,整理整理

颜色值 CSS 颜色使用组合了红绿蓝颜色值 (RGB) 的十六进制 (hex) 表示法进行定义。对光源进行设置的最低值可以是 0(十六进制 00)。最高值是 2...

2322
来自专栏Aloys的开发之路

使用CXF+Spring发布WebService,启动报错

使用CXF+Spring发布WebService,启动报错,日志如下: 五月 12, 2017 9:01:37 下午 org.apache.tomcat.uti...

45610
来自专栏专知

2018年SCI期刊最新影响因子排行,最高244,人工智能TPAMI9.455

2018年6月26日,最新的SCI影响因子正式发布,涵盖1万2千篇期刊。CA-Cancer J Clin 依然拔得头筹,其影响因子今年再创新高,达244.585...

1282
来自专栏marsggbo

Udacity并行计算课程 CS344 编程作业答案

832

扫码关注云+社区