强连通分量是有向图中的一个子图,在该子图中,所有的节点都可以沿着某条路径访问其他节点。强连通性是一种非常重要的等价抽象,因为它满足
强连通性可以用来描述一系列属性,如自然界中物种之间的捕食关系,互相捕食的物种可以看作等价的,在自然界能量传递中处于同一位置。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
Kosaraju算法通过以下步骤获得一个有向图的强连通分量。
为什么这个算法可以获得强连通分量呢?网上的证明很少,所以下面给出我的逻辑证明。
我们按照算法描述的步骤往下走:
因为代码很长,放在github上了。代码是在Idea中编译运行通过的,实现了一个基本的Graph数据结构,在此基础上实现了Kosaraju类,供参考。
部分内容转自https://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,
Low(u)=Min
{
DFN(u),
Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}
当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。