贝叶斯的概率推到，朴素贝叶斯分类器及Python实现

在了解贝叶算法前：要有一定的概率与数理统计基础以及注意事项

条件概率

首先，理解这两个公式的前提是理解条件概率，因此先复习条件概率。 P(A|B)=P(AB)P(B)P(A|B)=P(AB)P(B)P(A|B) ={ P(AB)\over P(B)}

那么由条件概率出发，看一下变形出来的乘法公式： P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=P(B)⋅P(A|B)P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=P(B)⋅P(A|B)P(AB) = P(A)\cdot P(B|A) = P(B)\cdot P(A|B)

理解上面公式比较好的方法是看韦恩图。像了解可以先百度。

事件的独立性和概率的乘法定理

有两个事件A和B，若P(A)=P(A|B)，即B的发生与否对A发生的可能性毫无影响，则称A,B两事件独立。

若干个独立事件A1，A1，……An之积的概率，等于各事件概率的乘积

P(A1…An)=P(A1)…P(An)

它被称为概率的乘法定理，其重要条件是两事件相互独立。相加是互斥，相乘是独立。

全概率

景点案例： 一个村子与三个小偷，小偷偷村子的事件两两互斥，求村子被偷的概率。 解释：假设这三个小偷编号为A1,A2,A2A1,A2,A2A1,A2,A2; 偷东西的事件标记为BBB,不偷的话标记为：B¯¯¯¯B¯\overline B 那么被偷的概率就是：要么是A1A1A1，要么是A2A2A2，要么是A3A3A3， 如果是A1A1A1, 概率是什么呢？首先得是A1A1A1,其次是村子被偷，也即是两个事件都满足，所以是P(A1B)P(A1B)P(A1B) 同理，可以得到P(A2B),P(A3B)P(A2B),P(A3B)P(A2B),P(A3B) 又因这三个小偷两两互斥，表示不会同时去偷。所以被偷的概率是： P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)P(B) = P(A1B) + P(A2B) +P(A3B) 当然按照条件概率或者乘法公式展开： P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3)（*） P(Ai),P(B|Ai)P(Ai),P(B|Ai)P(A_i),P(B|A_i) 是已知的 问：是不是有想展开为： P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)P(B) = P(B)P(A1|B) + P(B)P(A1|B) +P(B)P(A1|B) P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的冲动？

当然这个式子是没错的，但是体现不了这个问题的解法：分阶段。

（*）式子体现的是问题分为两个阶段： 1）选人，分割问题 2）计算分割的子问题的条件概率

对应的这里来便是： 1）选小偷，谁去偷 2）选定的小偷作为条件，那么他去偷的条件概率是什么

所以将问题拆解为阶段的问题便是全概率公式针对的问题。

贝叶斯公式

贝叶斯公式有意思极了，简单说就是逆全概公式。

前面是问总体看来被偷的概率是多少，现在是知道了总体被偷了这件事，概率并不知道，问你个更有意思的问题，像是侦探断案：是哪个小偷的偷的，计算每个小偷偷的概率。 这个特性用在机器学习，人工智能领域相当好用。 也就是求：P(Ai|B)=P(AiB)P(B)P(Ai|B)=P(AiB)P(B)P(A_i|B) = {P(A_iB) \over P(B)} Ai:小偷i干的；B:村子被偷了Ai:小偷i干的；B:村子被偷了A_i:小偷i干的； B:村子被偷了 首先是一个淳朴的条件概率的展开。 分母里出现了P(B)P(B)P(B),刚刚讨论的全概公式拿来用一用！ 而P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)P(A_iB) = P(A_i)\cdot P(B|A_i)

对应到上面的例子就鲜活一些：村子被偷了，求AiAiA_i偷的概率。 自然现在条件是P(B)P(B)P(B)，分子变形为P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)i)P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)i)P(A_iB) = P(A_i)\cdot P(B|A_i)i)，是因为假定就是AiAiA_i偷的，这是一个已知的概率。 分母P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|Ai)P(B) = \sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)

注意事项

1、朴素贝叶斯假设各个特征之间相互独立，所以称为朴素。

2、特征值之间是离散的，就直接计算概率值；若是连续值，则认为服从高斯分布，用均值和方差计算概率密度函数。

3、这里假定特征值的个数已知，实际情况下，并不一定知道。

4、数据文件见参考文献2的链接。

5、当特征属性的概率值为o时，可能造成分类误差，解决办法是加入Laplace校准，也成加一平滑，使分子不为0.

6、如果概率相乘，小数太多容易溢出，则可以修改为log,把乘法改成加法，避免误差。

7、经典分析案例：印第安人糖尿病概率，社交账号真实分类，文本分类，新闻分类等等。

朴素贝叶斯

朴素贝叶斯（Naive Bayesian）是最为广泛使用的分类方法，它以概率论为基础，是基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的分类方法。 朴素贝叶斯，朴素在什么地方？Q2:朴素贝叶斯，朴素在什么地方？ 之所以叫朴素贝叶斯，因为它简单、易于操作，基于特征独立性假设，假设各个特征不会相互影响，这样就大大减小了计算概率的难度。 朴素贝叶斯（Naive Bayesian）是基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的分类方法，它通过特征计算分类的概率，选取概率大的情况进行分类，因此它是基于概率论的一种机器学习分类方法。因为分类的目标是确定的，所以也是属于监督学习。

案例分析：直通车