纯粹的数学之美

当你爱上数学时,你可能愿意一辈子去研究它而不觉得厌烦,因为它的发展集成了无数人的贡献,自身是博大精深的,但输出却是简单的,简单到一个公式可以描述一个现象,一个方程可以解决一个问题,一片雪花的形成,一个陀螺的转动,一个放大镜在移动,一盆植物的生长。

数学有三大分支,基础数学,计算数学,应用数学。基础数学的美是淡淡的静静的,当你畅游在各种定理和公式之间,用铅笔在A4纸上辗转于各种逻辑去证明一个新的定理时,你会感觉大脑正沐浴着清新。

微积分,研究着极限,微商是一种极限,定积分也是一种极限,先划分成"微元"再去"无限逼近”。通俗的讲,微分包括求速度、加速度和曲线的斜率,积分可以看作求和、求面积。

泛函分析,可以看作有限维线性空间和其中的线性变换在无限维空间的平行推广。Hilbert空间、Banach空间,很多都在探究什么样的算子在什么条件下可以从一个子空间延拓到整个空间而保持某些不变性。

而变分法,最终在寻求极值函数,它们使泛函取得极大或极小值,相当于把微积分的对象从变量推广到了函数上。

偏微分方程,将未知函数和它的偏导数融合在一个方程中。在视觉艺术的应用中,基于泊松方程利用偏微分方程可以实现不同图像上区域的无缝融合。

代数学,研究的是向量空间和映射,在线性变换的作用下,矩阵在空间之间转换,什么变什么不变,特征值和特征向量会怎样。

统计学,离大家的生活最近一些,测定、收集、整理、归纳和分析数据,其中的线性回归,主成分分析,贝叶斯统计和概率图模型,在机器学习的发展中起着重要的作用。

拓扑学,研究的也是一种不变性,对特定物件(称为拓扑空间)在特定变换(称为连续映射)下不变之性质的研究,尤其是那些在特定变换(称为同胚)下不变之性质。现在特别热的话题,未来也会为我们带来更多便利的机器人,它们的各种可能姿势就可以透过被称为位形空间的流形来描述。

图论,它可以优雅地表述各种元素及其之间的关系,强大又高效。

在这里是否看到一些哲学,就像人类一直在探索宇宙中是否还有其他类似于地球的存在一样,数学也在探索有限空间外的无限空间,用离散去逼近连续,何时可以收敛,何时又是发散,看似不连通的空间是否连通,在各种变换映射下穿梭于不同维度的空间,寻找不变与变化,去寻找一个极大或者极小的答案。

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