图像中的几何变换

图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化的方法。在实际场景拍摄到的一幅图像，如果画面过大或过小，都需要进行缩小或放大。如果拍摄时景物与摄像头不成相互平行关系的时候，会发生一些几何畸变，例如会把一个正方形拍摄成一个梯形等。这就需要进行一定的畸变校正。在进行目标物的匹配时，需要对图像进行旋转、平移等处理。在进行三维景物显示时，需要进行三维到二维平面的投影建模。因此，图像几何变换是图像处理及分析的基础。

二. 几何变换基础

1. 齐次坐标：

齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行几何变换。齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如二维点p(x,y)->p(x,y,1)就成了齐次坐标，同理三维点p(x,y,z)->p(x,y,z,1)也成了齐次坐标；

齐次坐标的使用，使得几何变换更容易计算，尤其对于仿射变换（二维/三维）更加方便；由于图形硬件、视觉算法已经普遍支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它成为图形学中的一个标准；后面提到的几何变换都以齐次坐标和齐次变换矩阵为基础。

2. 点与向量的其次变换：

从普通坐标转换成齐次坐标时(以三维点为例）

如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);

如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)。

从齐次坐标转换成普通坐标时（以三维点为例）

如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);

如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)。

3. 齐次变换矩阵（以平移为例）：

以点p(x,y)为例，如果想把它平移(a,b)，至p'(x+a,y+b)，是不可能用矩阵计算完成的，现在换成齐次坐标(x,y,1),通过矩阵相乘(下图左侧公式) ，很方便得到平移后的坐标(x+a,y+b)。为了保持一致把矩阵改成 右侧矩阵，这就是齐次变换矩阵。

三. 图像中的几何变换

1. 相似变换：

定义：由一个平面/立体图形变换到另一个平面/立体图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的变换叫相似变换；任何相似变换都可以分解为等比例缩放、平移、旋转的组合；

举例：对于缩放来说，齐次变换矩阵如下表示(二维和三维），其中a≠0。

2. 仿射变换：

定义：由一个平面/立体图形变换到另一个平面/立体图形，在改变的过程中保持直线和平行线不变(平行线映射为平行线）；任何仿射变换都可以分解为缩放、平移、旋转和切变(Shearing)的组合；

举例：对于仿射变换，齐次变换矩阵如下表示(二维和三维）。

对于仿射变换，有两个比较特殊的变换：非等比例缩放和切变（如下图）；

除了以上两个特殊的变换之外，相似变换可以看做是仿射变换的特殊情况；

注：线性变换包括旋转、缩放、切变，但不包含平移，因此仿射变换也定义为一个线性变换再加

上一个平移变换。

3. 投影变换：

定义：变换过程中，直线映射为直线(不一定保证平行度)；

任何二维投影变换都可以用3x3可逆矩阵表示(齐次坐标)；任何三维投影变换都可以用4x4可逆矩阵表示(齐次坐标）。

从定义来看，仿射变换可以看做是投影变换的特殊形式；把投影变换矩阵的最后一行变为[0,0,1]或者

[0,0,0,1]，即可变为仿射变换矩阵，也可以证明仿射变换是投影变换的特殊形式；因此，对于平移、缩放、切变等，仿射变换和投影变换都可以实现。

四. 试验结果：

1. 2D仿射变换举例：比如下左图，通过2D仿射变换，缩放，旋转，平移之后得到变换矩阵对该图片进行校正后的图像如右图：

2. 3D投影变换举例：

比如下左图，通过3D投影变换，平移之后得到变换矩阵对该图片进行校正后的图像如右图：

参考文献：

1. http://wenku.baidu.com/link?url=dk46Bp8lDzC-XmrRMyX2N3nMLE3Zox5RgyynhWBdNhePY4DkrW4Apj2yGHO9Xkodhey1Ad1D5vjkNCz55iNoV9TQDxAa4uAmuhq98zg6dje

2. http://wenku.baidu.com/link?url=6H2YJ7_v7_bdvBfCz0BO9mpJ5abQT8hLTiPbyrSOT686mRAmpmDjF7xbtHLy-4hMIyYq97j2S92ptSkbF3zeZ0txYrueb4k53VPXfbQJxCi