量化投资之资本资产定价模型(CAPM)

量化投资之资本资产定价模型

(CAPM)

目录

一、前言

二、CAPM模型

1. 切点组合、分离定理与市场组合

2. 资本市场线

3. 证券市场线(资本资产定价模型)

4. 超额收益形式的CAPM模型

三、后记:quant的未来

附:量化投资系列

一、前言

数说君在《量化投资之动量反转》中曾经介绍过(微信公众号“数说工作室”中回复dlfz),现代金融学的两大基石是有效市场假说(EMH)和资本资产定价模型(CAPM)。有效市场假说是为了方便研究金融市场而对经济世界做的一个假想,而资本资产定价模型就基于这个假设:

(1)这个模型是干嘛的?

它是为了研究资本的收益与风险之间的定量关系。

(2)为什么要研究这个?

我们知道,这个世界有一个基本规律:风险越高、收益越高。当一个产品风险低而收益又高的时候,一定会有大量资金涌入瓜分掉收益。

因此,通过研究资本收益与风险之间的定量关系,我们可以判断这只股票价格的“合理性”,如果风险太大而价格又很低、或者风险太小而价格又太高,说明其价格不合理,有很大变动的可能。此外,还可以估计各种宏观经济变化对股票价格的影响。

二、CAPM模型

1. 切点组合、分离定理与市场组合

我们先把前言中说的“研究资本收益与风险之间的定量关系”这个东西放一放。先从金融市场上两个很重要的问题入手——每一天每一刻,投资人们无不在绞尽脑汁思考的两个问题——(1)有没有一个收益最大、风险最小的投资组合?(2)它在哪里?

为了搞清楚这个问题,经济学家们简化了这个世界,在这个简化的世界中,经济学家们找到了这个最优的投资组合,它被称为切点组合。现在,我们就来聊一聊这个最优的“切点组合”。

要了解它的原理,我们需要走进经济学家威廉夏普等构建的简化世界:

根据假设1、2、3,我们知道投资者将会从所有风险证券组合构成的可行区域(下图的灰色区域)中选择其最优证券组合(灰色区域的外圈黑色沿线)。根据假设4,我们知道所有投资者的风险可行区域是相同的。如下图所示,纵轴是组合的预期收益,横轴是组合的标准差,标准差反映了组合收益的变动情况,即风险大小,标准差越大,收益变动越大,越不稳定,说明风险越大。

下面的灰色区域就是所有投资者的可行区域,黑色外沿就是最优的证券组合,为什么是最优的呢?以A点为例,在外沿线上面总能找到一个B,它的风险与A一样,但收益更高。

注意,以上讨论的资产组合,都是有风险的,因为横轴不等于零,在不考虑无风险资产的时候,黑色沿线的组合都是最优组合,但有无风险资产介入情况就有所不同。

根据假设5,市场上只有一种无风险资产C,收益为r0,方差即风险为0,如下图所示。

  • 投资者可以将钱全部投向于某个最优的资产组合,比如B,那么获得收益和承担的风险将全部是rB和σB。
  • 同样,投资者也可以将钱全部投向无风险资产,那么获得收益和承担的风险将全部是r0和0。
  • 事情当然没有那么极端,更多人把部分钱投资于B、部分投资于无风险资产C,这样形成的组合形成了B-C的连线,在这条线上,任何一个点都是B与C之间的再组合。

那么问题就来了,不考虑无风险资产的时候,黑色沿线上的点都是最优组合,考虑无风险资产,为什么情况就不同?实际上,考虑无风险资产的时候,黑色沿线上有一个最最优的点M,M与C的连线优于M与任何其他组合的连线:

聪明的你一定看出来了,CM先与黑色沿线相切,相比其他连线,CM上的点可以在相同标准差下获取更高的期望收益。此时,我们果断抛弃除M之外的其他任何风险组合。

至此,我们得到了两个很有用的东西:

(1)切点组合

切点对应的风险组合,即M点,被称为切点组合。

(2)分离定理

分离定理也称分离特性,指最优风险组合的确定,与个别投资者的偏好无关。我们也推导过了,无论是谁,只要是理性投资者,他必定会以M作为他的风险投资组合。

分离定理有什么意义?

对于从事投资服务的金融机构来说,不管投资者的收益/风险偏好如何,只需找到切点所代表的风险资产组合,再加上无风险证券,就可以为所有投资者提供最佳的投资方案,投资者的收益/风险的偏好,就只需反映在组合中无风险证券所占的比重。

现在,我们回答了投资者们无时无刻不在绞尽脑汁思考的两个问题,的第一个问题——(1)有没有一个收益最大、风险最小的投资组合?回答是有的,它就是切点组合。现在,我们来搞清楚第二个问题(2)它在哪里?

从上面的图中,我们只能知道有这么一个组合M,但是它具体是什么样的组合,具体是那些证券按照什么比例组合成的?这个我们还不知道,现在我们就来把它搞清楚。

从分离定理中我们知道,所有投资者的风险资产都会选择M,没有其他选择,因此M必然是一个“市场组合”——由所有证券构成的组合,在这个组合中,每一种证券的构成比例等于该证券的相对市值。

为什么呢?假设市场上有一种风险证券E,它没有被包括在组合M中,那么肯定没有人持有它,因为所有人都选择了那个最优的M组合,用它来搭配无风险证券。此时这个风险证券E没有需求只有供给,这会使E的价格一直下降,直到人们认为E有利可图并被纳入到组合M中进行持有,此时也许M变成了M’,但这个M’仍然是市场上最最优的风险组合,并与投资者的偏好无关——也只是换个名称而已。至此我们得到了第三个有用的东西:

(3)市场组合

切点组合即市场组合——由所有证券构成的组合,在这个组合中,每一种证券的构成比例等于该证券的相对市值。

而且上述的分析也说明了市场组合中每一种证券的价格都是均衡价格(在这个价格下,供给等于需求),如果不是均衡价格的话,价格可能高于或低于均衡价格,这是买压或卖压会使价格回到均衡水平。

2. 资本市场线

目前我们知道了风险组合中,有一个最最优的组合M,它被称为切点组合,也是一个市场组合,如果它搭配无风险证券,那么我们就可以确定一条有效证券组合CM,CM上的点代表(风险组合M + 无风险资产C)搭配起来的所有有效组合。那么,从C出发,穿过M点的这条射线,就被称为资本市场线。它描述了有效组合的风险与收益之间的关系。

为什么CM之外的延长线也算上资本市场线?

因为假设中提到没有卖空和买空的限制,投资者可以借入或者贷出无风险资金,投入到切点组合中。举一个例子,对于某风险厌恶的投资者来说,他可能会选择一般投资于无风险资产C,一般投资于切点组合M,那么他会选择有效组合CM1:

CM1=0.5C+0.5M

对于某风险厌恶较轻的投资者来说,他可能会借入无风险资产C,连同自己的本金一起投入到切点组合M上,那么他会选择有效组合CM2:

CM2=-0.5C+1.5M

经过上面的分析,我们得到了本节的一个重要的概念:资本市场线(CML)

资本市场线描述了有效组合的风险和收益之间的关系。这个关系如何用公式表达?

看图就很容易发现:

其中

为M的风险收益(或风险溢价、风险报酬)

至此,我们了解了有效组合的预期回报与标准差之间的关系。但是,有效组合作为从简化世界中推导出来的一个庞大的组合,它的现实意义在哪里?我们在前言中不是说要研究CAPM模型,用它来分析“某股票收益与风险之间的定量关系,以判断其价格是否合理”的吗?不错,我们前面讨论的

切点组合——分离定理——市场组合(=切点组合)——资本市场线

就是为了研究这个东西做铺垫。

3. 证券市场线(资本资产定价模型)

还是要回到单个风险证券上来,对于单个风险证券,有同学要说话要说:

不(bie)对(sha)的(le),单个证券本身是一个非有效的组合,它始终位于资本市场线的下方。不在资本市场线上,因此不能简单的用标准差来取比例套用这个公式。

此时我们需要把横轴换一换,考虑单个证券的时候,不再用标准差来度量风险,而是用β系数——β系数反映的是单个证券与整体市场组合的联动性,而不是自己的离散程度。

换成β系数之后,公式就出来了:

那么ri与βi之间的关系就是一条直线了:

等下,有同学又要说话了,

还有问题欢迎在微信中实时骚扰(不一定在线),看到一定回复(公众号在接受消息48小时后就不能再回复了)。

本节至此,我们介绍了几个重要的概念:

(1)β系数

它反映了单个证券与整体市场组合的联动性,用来衡量单个证券的风险,实际上,我们可以根据β系数来区分股票:

  • β>1的股票被称为“攻击性股票”,市场上升时其升幅较大;
  • β<1的股票被称为“防御性股票”,市场下降时其跌幅较小;
  • β<1的股票被称为“中立性股票”,与市场波动一致,适用于指数基金;

(2)证券市场线(SML)

证券市场线是反映单个风险证券收益与β系数关系的直线,注意它与资本市场线(CML)的区别:

  • CML关注的市场组合(的收益与风险的关系),而SML关注的是单个证券(的收益与风险的关系)。实际上,不仅仅是单个证券,SML适用于所有有效组合和非有效组合,而CML只适用于有效组合;
  • CML用标准差来衡量风险,而SML用β系数来衡量风险。

(3)资本资产定价模型(CAPM)

证券市场线其实就是CAPM的图形形式,它的公式:

正是资本资产定价模型CAPM。

4. 超额收益形式的CAPM模型

(1)CAPM模型的贡献

CAPM模型是在一些假设的基础上,推导出了资产的定价模型,通过无风险利率、市场收益率、以及β系数可以得到某种资产的“理论”价格,从而帮助投资者对股票进行评价。此外CAPM模型还剔除了新的风险测度方法,即β系数。在实际中,具有较强的可操作性,如,

  • 无风险利率多用短期国债利率或银行业间同业拆利率;
  • 市场组合的期望收益率,用上证综合指数,美国可以用S&P500指数;
  • β系数,利用单个股票和市场组合的历史数据可以进行计算,之后再进行显著性检验。

(2)超额收益形式的CAPM模型

虽然如此,CAPM模型的缺点也是很明显的,它的成立是基于一连串理想化的假设,这些假设在现实中并不全部成立,这必然使得CAPM的作用大打折扣。

其实,数说君在《量化投资之多因子模型》中说过(微信公众号“数说工作室”中回复“factor”),在理想条件下,股票只能获得平均基准收益,而现实中无法满足那些假设要求,股票的收益也不仅只有基准收益,还包括了超额收益,即α收益

此外,βi度量股票i的风险不用多说,要补充的是它其实是一种系统风险,是不可分散的。εi是股票i的随机误差项,是非系统风险,是可以分散掉的;

三、后记:quant的未来

数说君认为,quant的未来是乐观的:

现实中市场越有效效、信息越公开、投资者不理性,标准的CAPM模型就越适用,其对投资的指导意义就越大,传统的Q quant 会比较吃香;

相反,现实中市场越无效、信息越不公开、投资者越不理性,则说明超额收益就越存在,手握数据挖掘、数据分析利器的P quant们的舞台就越大。(这又说到两派quant,重模型的q quant和重数据的p quant,回复“dsj1”查看)

中国的市场显然属于后者,这也说明,中国市场的超额收益的空间比成熟的国外资本市场更大,实际上,市场永远也不可能完全有效,因此未来的quant们一定是一手握模型、一手握数据的复合型人才。

目前,数说工作室的小伙伴们正对中国股市的CAPM模型进行验证,后续可能会分享一些结果甚至代码(SAS、MATLAB、PYTHON)。

附录:量化投资系列

量化投资系列:关键字

《量化投资之动量反转》:dlfz

《量化投资之多因子模型》:factor

原文发布于微信公众号 - 数说工作室(shushuojun)

原文发表时间:2014-10-12

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