对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在[i,j]里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题 主要方法及复杂度(处理复杂度和查询复杂度)如下: 1.朴素(即搜索) O(n)-O(n) 2.线段树(segment tree) O(n)-O(qlogn) 3.ST(实质是动态规划) O(nlogn)-O(1) 线段树方法: 线段树能在对数时间内在数组区间上进行更新与查询。 定义线段树在区间[i, j] 上如下: 第一个节点维护着区间 [i, j] 的信息。 if i<j , 那么左孩子维护着区间[i, (i+j)/2] 的信息,右孩子维护着区间[(i+j)/2+1, j] 的信息。 可知 N 个元素的线段树的高度 为 [logN] + 1(只有根节点的树高度为0) . 下面是区间 [0, 9] 的一个线段树:
线段树和堆有一样的结构, 因此如果一个节点编号为 x ,那么左孩子编号为2*x 右孩子编号为2*x+1. 使用线段树解决RMQ问题,关键维护一个数组M[num],num=2^(线段树高度+1). M[i]:维护着被分配给该节点(编号:i 线段树根节点编号:1)的区间的最小值元素的下标。 该数组初始状态为-1.
1 #include<iostream>
2
3 using namespace std;
4
5 #define MAXN 100
6 #define MAXIND 256 //线段树节点个数
7
8 //构建线段树,目的:得到M数组.
9 void initialize(int node, int b, int e, int M[], int A[])
10 {
11 if (b == e)
12 M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标
13 else
14 {
15 //递归实现左孩子和右孩子
16 initialize(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);
17 initialize(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);
18 //search for the minimum value in the first and
19 //second half of the interval
20 if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])
21 M[node] = M[2 * node];
22 else
23 M[node] = M[2 * node + 1];
24 }
25 }
26
27 //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引
28 int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)
29 {
30 int p1, p2;
31
32
33 //查询区间和要求的区间没有交集
34 if (i > e || j < b)
35 return -1;
36
37 //if the current interval is included in
38 //the query interval return M[node]
39 if (b >= i && e <= j)
40 return M[node];
41
42 //compute the minimum position in the
43 //left and right part of the interval
44 p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);
45 p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);
46
47 //return the position where the overall
48 //minimum is
49 if (p1 == -1)
50 return M[node] = p2;
51 if (p2 == -1)
52 return M[node] = p1;
53 if (A[p1] <= A[p2])
54 return M[node] = p1;
55 return M[node] = p2;
56
57 }
58
59
60 int main()
61 {
62 int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.
63 memset(M,-1,sizeof(M));
64 int a[]={3,1,5,7,2,9,0,3,4,5};
65 initialize(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);
66 cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;
67 return 0;
68 }
ST算法(Sparse Table):它是一种动态规划的方法。 以最小值为例。a为所寻找的数组. 用一个二维数组f(i,j)记录区间[i,i+2^j-1](持续2^j个)区间中的最小值。其中f[i,0] = a[i]; 所以,对于任意的一组(i,j),f(i,j) = min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)}来使用动态规划计算出来。 这个算法的高明之处不是在于这个动态规划的建立,而是它的查询:它的查询效率是O(1). 假设我们要求区间[m,n]中a的最小值,找到一个数k使得2^k<n-m+1. 这样,可以把这个区间分成两个部分:[m,m+2^k-1]和[n-2^k+1,n].我们发现,这两个区间是已经初始化好的. 前面的区间是f(m,k),后面的区间是f(n-2^k+1,k). 这样,只要看这两个区间的最小值,就可以知道整个区间的最小值!
1 #include<iostream>
2 #include<cmath>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5
6 #define M 100010
7 #define MAXN 500
8 #define MAXM 500
9 int dp[M][18];
10 /*
11 *一维RMQ ST算法
12 *构造RMQ数组 makermq(int n,int b[]) O(nlog(n))的算法复杂度
13 *dp[i][j] 表示从i到i+2^j -1中最小的一个值(从i开始持续2^j个数)
14 *dp[i][j]=min{dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1]}
15 *查询RMQ rmq(int s,int v)
16 *将s-v 分成两个2^k的区间
17 *即 k=(int)log2(s-v+1)
18 *查询结果应该为 min(dp[s][k],dp[v-2^k+1][k])
19 */
20
21 void makermq(int n,int b[])
22 {
23 int i,j;
24 for(i=0;i<n;i++)
25 dp[i][0]=b[i];
26 for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
27 for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
28 dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
29 }
30 int rmq(int s,int v)
31 {
32 int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));
33 return min(dp[s][k],dp[v-(1<<k)+1][k]);
34 }
35
36 void makeRmqIndex(int n,int b[]) //返回最小值对应的下标
37 {
38 int i,j;
39 for(i=0;i<n;i++)
40 dp[i][0]=i;
41 for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
42 for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
43 dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
44 }
45 int rmqIndex(int s,int v,int b[])
46 {
47 int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));
48 return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k];
49 }
50
51 int main()
52 {
53 int a[]={3,4,5,7,8,9,0,3,4,5};
54 //返回下标
55 makeRmqIndex(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a);
56 cout<<rmqIndex(0,9,a)<<endl;
57 cout<<rmqIndex(4,9,a)<<endl;
58 //返回最小值
59 makermq(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a);
60 cout<<rmq(0,9)<<endl;
61 cout<<rmq(4,9)<<endl;
62 return 0;
63 }