层次分析法(详解)
注：文章内容主要参阅 《matlab数学建模算法实例与分析》，部分图片来源于WIKI
文章分为2部分：
1第一部分以通俗的方式简述一下层次分析法的基本步骤和思想
2第二部分介绍一下我们队伍数学建模过程中，对层次分析法的应用，中间有些地方做了不严谨的推理，例如关于一致性的检验，如有人发现不正确，希望可以指正
第一部分：
层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称 AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型； （ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。
这四个步骤中，前两个步骤最容易理解，后两个步骤需要一点时间理解
首先从层次结构模型说起
层次分析法是用来根据多种准则，或是说因素从候选方案中选出最优的一种数学方法
最顶层是我们的目标，比如说选leader，选工作，选旅游目的地
中间层是判断候选方物或人优劣的因素或标准
选工作时有：发展前途 ，待遇 ，工作环境等
选leader时有：年龄，经验，教育背景，魅力
在分层以后，为了选出最优候选
给目标层分配值1.000
然后将这一值作为权重，分配给不同因素，对应因素的权重大小代表该因素在整个选择过程中的重要性程度
然后对于候选方案，每一个标准再将其权重值分配给所有的候选方案，每一方案获得权重值，来源于不同因素分得的权重值的和
如下图：(alternative1)0.333=0.250/4(criterion1)+0.250/4(criterion2)+0.250/4(criterion3)+0.250/4(criterion4)
最终获得的各个方案的的权重值的和依然为1
例如选工作时，待遇所占的比重为0.8， 有工作1,2,3候选， 如果工作1的待遇最高，工作2的待遇次之，工作3最差，则可将0.8的值按0.4,0.3，0.1分给工作1,2,3,
这不就是一个简单的权重打分的过程吗？为什么还要层次分析呢。这里就有两个关键问题：
1每个准则（因素）权重具体应该分配多少
2每一个候选方案在每一个因素下又应该获得多少权重
这里便进入层次分析法的第二个步骤，也是层次分析法的一个精华（构造比较矩阵（判断矩阵）comparison matrix）：
首先解决第一个问题：每个准则（因素）权重具体应该分配多少？
如果直接要给各个因素分配权重比较困难，在不同因素之间两两比较其重要程度是相对容易的
现在将不同因素两两作比获得的值aij 填入到矩阵的 i 行 j 列的位置，则构造了所谓的比较矩阵，对角线上都是1， 因为是自己和自己比
这个矩阵容易获得，我们如何从这一矩阵获得对应的权重分配呢
这里便出现了一个比较高级的概念，正互反矩阵和一致性矩阵
首先正互反矩阵的定义是：
我们目前构造出的矩阵很明显就是正互反矩阵
而一致性矩阵的定义是：
这里我们构造出的矩阵就不一定满足一致性，比如我们做因素1：因素2= 4：1 因素2：因素3=2:1 因素1：因素3=6:1（如果满足一致性就应该是8:1），我们就是因为难以确定各因素比例分配才做两两比较的，如果认为判断中就能保证一致性，就直接给出权重分配了
到了关键部分，一致性矩阵有一个性质可以算出不同因素的比例
这里的w就是我们想要知道的权重，所以通过 求比较矩阵的最大特征值所对应的特征向量，就可以获得不同因素的权重，归一化一下（每个权重除以权重和作为自己的值，最终总和为1）就更便于使用了。（实际上写这篇博客就是因为，重新翻了线代的书才好不容易理解这里的，就想记录下来）
这里补充一点线性代数的知识：
n阶矩阵有n个特征值，每个特征值对应一个n维特征列向量，特征值和特征向量的计算方法这里就省略了，反正书中的程序是直接用matlab 的eig函数求的
这里不能忘了，我们给出的比较矩阵一般是不满足一致性的，但是我们还是把它当做一致矩阵来处理，也可以获得一组权重，但是这组权重能不能被接受，需要进一步考量
例如在判断因素1,2,3重要性时，可以存在一些差异，但是不能太大，1比2重要，2比3 重要，1和3比时却成了3比1重要，这显然不能被接受
于是引入了一致性检验：
一致性的检验是通过计算一致性比例CR 来进行的
当 10 . 0 < CR 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
CI的值由判断矩阵计算获得，RI的值查表获得，具体的计算公式这里就略去，重点是理解为什么要做一致性检验
接下来解决第二个问题：每一个候选方案在每一个因素下又应该获得多少权重
这里则需要将不同候选方案，在不同因素下分别比较，具体的比较方法，还是使用比较矩阵，只不过之前准则层的比较矩阵比较的对象是因素，这里比较的是某一因素下，候选方案的优劣， n个因素则需构造出来n个比较矩阵
例如在工作环境的因素下，工作1与工作2相比为 ：4:2，工作2与工作3=2:1 工作1：工作3=6：1.，这样构造一个矩阵，再用之前的一致性矩阵的方法就可以求出一个权重，然后相对应因素（这里是工作环境）所拥有的权值就可以按这个权重比例分配给不同候选物或人。
其他因素同理
至此两个问题就都得到了解决
最终将每个候选物、人从不同因素获得的权值求和，就可以得到不同候选对于目标层的权值大小，继而可以根据值的大小，来选出优劣
对于第一部分的总结：
通过对层次分析法的基本了解，不难发现层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为 科学管理和决策提供了较有说服力的依据，但很明显的缺点是，整个分析过程似乎都是依赖于人的主观判断思维，一来不够客观，二来两两比较全部人为完成，还是非常耗费精力的，尤其是当候选方案比较多的时候。
文章的第二部分：
层次分析法的变形应用（也可能本来就是这样用的，只不过参考书上没这样说，外语 论文没细看）解决最优教练选择问题
目标：选最优教练
准则： 职业生涯所带队伍的胜率
职业生涯所带队伍的胜场
从教时长（年）
职业生涯所带队伍获奖状况（化成分数）
候选： 众多教练
准则层的比较矩阵好构造 ，作6次两两比较，就可以获得4*4的比较矩阵
问题在于候选层的比较矩阵怎么获得，有4000个教练的话，得比4000*3999次，这里就不必人为比较了，引入定量的数据用程序控制作比即可
胜率因素下就用胜率两两作比构造矩阵，从教时长因素下就用年长来做比
这里又有两点可以注意：
1.不同因素下数据的量纲和性质不一样，直接用数据作比来分配，不一定合适，比如胜率越要接近1越难，0.7比胜率0.5 和胜率0.9比0.7 ，后者比值比前者小，这显然不合适。建模中我们结合了幂函数和对数函数处理。
2.这里的用定量数据作比获得的矩阵显然满足一致性要求，不需要做一致性检验（想做还不好做，计算CR的值要有RI，RI的值查表只给出9个，计算4000个教练，需要4000个RI呢）
综上就对层次分析法完成了定性定量结合的应用，以及对多个候选方案的比较（其实只是就是用程序控制数据作比，我们水平有限，能成功应用该方法已经不容易了）
很遗憾的是比赛时编写的代码存放的优盘不慎丢失， 没有办法把代码共享出来， 这里只能将书中的代码贴出。比赛建模时， 就是在这个代码基础上进行修改实现。 只要理解了下列代码，编写符合自己需求的程序， 应当是水到渠成的事。