BZOJ 3097: Hash Killer I【构造题,思维题】

3097: Hash Killer I

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special Judge

Submit: 963  Solved: 364

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Description

这天天气不错,hzhwcmhf神犇给VFleaKing出了一道题: 给你一个长度为N的字符串S,求有多少个不同的长度为L的子串。 子串的定义是S[l]、S[l + 1]、... S[r]这样连续的一段。 两个字符串被认为是不同的当且仅当某个位置上的字符不同。

VFleaKing一看觉得这不是Hash的裸题么!于是果断写了哈希 + 排序。 而hzhwcmhf神犇心里自然知道,这题就是后缀数组的height中 < L的个数 + 1,就是后缀自动机上代表的长度区间包含L的结点个数,就是后缀树深度为L的结点的数量。 但是hzhwcmhf神犇看了看VFleaKing的做法表示非常汗。于是想卡掉他。

VFleaKing使用的是字典序哈希,其代码大致如下: u64 val = 0; for (int i = 0; i < l; i++)  val = val * base + s[i] - 'a'; u64是无符号int64,范围是[0, 2^64)。VFleaKing让val自然溢出。 base是一个常量,VFleaKing会根据心情决定其值。 VFleaKing还求出来了base ^ l,即base的l次方,这样就能方便地求出所有长度为L的子串的哈希值。 然后VFleaKing给哈希值排序,去重,求出有多少个不同的哈希值,把这个数作为结果。 其算法的C++代码如下:

typedef unsigned long long u64;

const int MaxN = 100000;

inline int hash_handle(const char *s, const int &n, const int &l, const int &base) {  u64 hash_pow_l = 1;  for (int i = 1; i <= l; i++)   hash_pow_l *= base;

 int li_n = 0;  static u64 li[MaxN];

 u64 val = 0;  for (int i = 0; i < l; i++)   val = val * base + s[i] - 'a';  li[li_n++] = val;  for (int i = l; i < n; i++)  {   val = val * base + s[i] - 'a';   val -= (s[i - l] - 'a') * hash_pow_l;   li[li_n++] = val;  }

 sort(li, li + li_n);  li_n = unique(li, li + li_n) - li;  return li_n; }

hzhwcmhf当然知道怎么卡啦!但是他想考考你。

Input

没有输入。

Output

你需要输出一组数据使得VFleaKing的代码WA掉。我们会使用Special Judge检查你的结果的正确性。 输出文件共两行。 第一行两个用空格隔开的数n、l。 第二行是一个长度为n的字符串。只能包含'a'~'z'。 需要保证1 <= n <= 10^5, 1 <= l <= n, 不符合以上格式会WA。 不要有多余字符,很可能导致你WA。

Sample Input

没有

Sample Output

8 4 buaabuaa (当然这个输出是会WA的)

HINT

orz 波兰人 & fotile96 & sillycross

Source

VFleaKing & hzhwcmhf

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3097

分析:此题乍一眼看没怎么看懂,后来分析了一下,此题为构造题!

非常神奇的构造题。

首先明白两点:

1.卡hash的关键在于构造两个不同的串对应的hash值相同。

2.爆u64相当于对2^64这个数取模。

如果base是偶数,那么a.........aaa(>64个a)与ba.......aa(a的数量为前面那么串a的数量-1),这两个串长度相同,hash值相同,显然串是不同的,这样就卡掉了。

如果base是奇数,就比较麻烦了。

看vfk的做法吧:

a \ b表示a能整除b。(orz 具体数学)

strA . strB代表字符串串联。如"娃" . "哈哈" = "娃哈哈"

设字符串序列{orzstr[i]},orzstr[1] = "a", orzstr[i] = orzstr[i - 1] . not(orzstr[i - 1])

设hash(str)为str的哈希值。

hash(orzstr[i]) = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ |not(orzstr[i - 1])| + hash(not(orzstr[i - 1]))

                       = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))

hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1])

   hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

= (hash(orzstr[i - 1]) - hash(not(orzstr[i - 1]))) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

hash(not(orzstr[i]))似乎是个神奇的东西。而我们的目的实际上是要找两个字符串strA, strB使得

相当与

设数列{f[i]},f[i] = hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

f[i] = f[i - 1] * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1

f[i] = f[i - 1] * g[i - 1]

然后发现一个神奇的事情?

问题是不是结束了呢……发现没有……这样的话我们要使2 ^ 64 \ f[i],至少得让i = 65……然后发现|orzstr[65]|是个天文数字。

i > 1时有:

base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1 = (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) + 1) = g[i - 1] * 一个偶数

那么4 \ g[2],8 \ g[3]...

所以f[i] 实际上有:

2 ^ (i * (i - 1) / 2) \ f[i]

这就是卡base为奇数时的方法。orzstr[12]和not(orzstr[12])即为所求。

而读入中base既有奇数又有偶数,直接在奇数构造的字符串后面加64个a就可以了。

下面给出AC代码:

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int a[500001];
 4 int main()
 5 {
 6      int len=1;
 7      a[1]=1;
 8      int i;
 9      while(len<=100000)
10      {
11           for(i=1;i<=len;i++)
12           {
13                if(a[i]==1)
14                     a[i+len]=0;
15                else
16                     a[i+len]=1;
17           }
18           len=len*2;
19      }
20      printf("100000 10000\n");
21      for(i=1;i<=100000;i++)
22      {
23           if(a[i]==1)
24                printf("a");
25           else
26                printf("b");
27      }
28      printf("\n");
29      return 0;
30 }

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