COGS 862. 二进制数01串【dp+经典二分+字符串】

862. 二进制数01串

★   输入文件：kimbits.in   输出文件：kimbits.out 简单对比 时间限制：1 s   内存限制：128 MB

USACO/kimbits(译 by !Starliu )

描述

考虑排好序的N(N<=31)位二进制数。

你会发现，这很有趣。因为他们是排列好的，而且包含所有可能的长度为N且含有1的个数小于等于L(L<=N)的数。

你的任务是输出第I（1<=I<=长度为N的二进制数的个数）大的，长度为N，且含有1的个数小于等于L的那个二进制数。

注意：这里“长度为N”包括长度小于N的数（我们认为高位用0补齐）

格式

PROGRAM NAME: kimbits

INPUT FORMAT:(file kimbits.in)

共一行，用空格分开的三个整数N，L，I。

OUTPUT FORMAT:(file kimbits.out)

共一行，输出满足条件的第I大的二进制数。

SAMPLE INPUT

(file kimbits.in)

5 3 19

SAMPLE OUTPUT

(file kimbits.out)

10011

题目链接：http://cogs.cf/cogs/problem/problem.php?pid=862

分析：这道题很难，构思巧妙,先用dp求出所要求dp[i,j]前i位1的个数不大于j的方案数，然后便是printf了。

先讲一下如何计算dp[i,j]。

dp[i,j]表示前i位，1的个数不大于j的方案数。

显然：dp[i,j]=dp[i-1,j]+dp[i-1,j-1];

dp[i-1,j]表示当前第i位以0开头所得到的方案数,dp[i-1,j-1]表示当前第i位以1开头得到的方案数。

如何根据得到的dp[i,j]来printf呢？如果当前我要确定第i位，那么肯定要看dp[i-1]集合中的值判断，例如我当前确定第5位，前4位不超过3个1的方案数为15，而我现在要求第19位，则第5为1，因为19>15，为什么呢？因为第5位可能为0,1，而为0的占了15个，为1的开头也是占15个，显然19属于为1开头的数，所以输出1，输出1的同时还要更新数据即可。输出0就什么也不用更新。

更新数据是指：当前第19位要减去15，3个1要变为2个1，以更新完的数据去得到第i+1个数才能是正确的。二分对每一位判断当改位是0的时候的有多少个符合条件的数就行了

貌似代码跑的飞起来，COGS上第一道排名NO.1的题，纪念一下！

下面给出AC代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=32+5;
 4 typedef long long ll;
 5 ll dp[maxn][maxn],n,o=0;
 6 ll C(ll a,ll b)
 7 {
 8     if(a==0)
 9         return 1;
10     if(dp[a][b]!=-1)
11         return dp[a][b];
12     return a==1?b:dp[a][b]=(C(a-1,b)*(b-a+1))/a;
13 }
14 ll total(ll num,ll len,ll maxo)
15 {
16     ll cnt=0;
17     len=n-len-1;
18     for(ll i=0;(i+o)<=maxo;i++)
19     {
20         cnt+=C(i,len);
21     }
22     return cnt;
23 }
24 int main()
25 {
26     ll l,i,len;
27     char ans[maxn];
28     memset(dp,-1,sizeof(dp));
29     memset(ans,0,sizeof(ans));
30     freopen("kimbits.in","r",stdin);
31     freopen("kimbits.out","w",stdout);
32     cin>>n>>l>>i;
33     for(len=0;len<n;len++)
34     {
35         ll temp=total(0,len,l);
36         if(temp>=i)
37             ans[len]=0+'0';
38         else
39         {
40             ans[len]=1+'0';
41             i=i-temp;
42             o++;
43         }
44     }
45     cout<<ans<<endl;
46     return 0;
47 }