BZOJ 1041: [HAOI2008]圆上的整点【数论，解方程】
BZOJ 1041: [HAOI2008]圆上的整点【数论，解方程】
1041: [HAOI2008]圆上的整点
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Description
求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。
Input
只有一个正整数n,n<=2000 000 000
Output
整点个数
Sample Input
4
Sample Output
4
HINT
Source
题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1041
【分析】：
样例图示：
首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。
然后想数学方法。
有了上面的推理，那么实现的方法为：
枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。
此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。
第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1
第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1
因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4
【时间复杂度分析】：
枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)
下面给出AC代码：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 typedef long long ll;
4 inline ll read()
5 {
6 ll x=0,f=1;
7 char ch=getchar();
8 while(ch<'0'||ch>'9')
9 {
10 if(ch=='-')
11 f=-1;
12 ch=getchar();
13 }
14 while(ch>='0'&&ch<='9')
15 {
16 x=x*10+ch-'0';
17 ch=getchar();
18 }
19 return x*f;
20 }
21 inline void write(ll x)
22 {
23 if(x<0)
24 {
25 putchar('-');
26 x=-x;
27 }
28 if(x>9)
29 {
30 write(x/10);
31 }
32 putchar(x%10+'0');
33 }
34 ll gcd(ll a,ll b)
35 {
36 return b==0?a:gcd(b,a%b);
37 }
38 inline bool check(ll y,double x)
39 {
40 if(x==floor(x))//判断整点
41 {
42 ll x1=(ll)floor(x);
43 if(gcd(x1*x1,y*y)==1&&x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)==1&&A!=B
44 return true;
45 }
46 return false;
47 }
48 int main()
49 {
50 ll R;
51 R=read();
52 ll ans=0;
53 for(ll d=1;d<=(ll)sqrt(2*R);d++)//1<=d^2<=2R
54 {
55 if((2*R)%d==0)
56 {
57 for(ll a=1;a<=(ll)sqrt(2*R/(2*d));a++)//2*a^2<2*R/d
58 {
59 double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a);
60 if(check(a,b))
61 ans++;
62 }
63 if(d!=(2*R)/d)
64 {
65 for(ll a=1;a<=(ll)sqrt(d/2);a++)//2*a^2<=d
66 {
67 double b=sqrt(d-a*a);
68 if(check(a,b))
69 ans++;
70 }
71 }
72 }
73 }
74 printf("%lld\n",ans*4+4);
75 return 0;
76 }腾讯云开发者
