记一道贝叶斯公式的裸题

上课好不容易听懂了，赶紧整理一下，不然以我的记性估计明天就要忘干净了

题目

一个用户所有邮件分为两类：$A_1$代表垃圾邮件， $A_2$代表非垃圾邮件

根据经验，$P(A_1) = 0.7$， $P(A_2) = 0.3$。

令$B$表示邮件包含“免费”这一关键词，由历史邮件得知， $P(B|A_1) = 0.9$，

$P(B|A_2) = 0.01$（注意：它们之和并不一定等于$1$）。

问若收到一封新邮件，包含了“免费”这一关键字，那么它是垃圾邮件的概率是多少

Solution

题目要求的实际是$P(A_1|B)$

根据条件概率公式

$$P(A_1|B)=\frac{P(A_1|B)}{P(B)}$$

转换为贝叶斯公式

$$P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)}$$

将分式底下$P(B)$这一项用全概率公式展开

$$P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}$$

然后就可以算了

$$P(A_1|B)=\frac{0.9*0.7}{0.9*0.7+0.01*0.3}$$

$$\approx 0.995260663507109004739336492891 \% $$