洛谷P3704 [SDOI2017]数字表格
题目描述
Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]f[i] 表示数列的第ii 项，那么
f[0]=0f[0]=0 ,f[1]=1f[1]=1 ,
f[n]=f[n-1]+f[n-2],n\geq 2f[n]=f[n−1]+f[n−2],n≥2
Doris用老师的超级计算机生成了一个n×mn×m 的表格，
第ii 行第jj 列的格子中的数是f[\gcd(i,j)]f[gcd(i,j)] ，其中\gcd(i,j)gcd(i,j) 表示i,ji,j 的最大公约数。
Doris的表格中共有n×mn×m 个数，她想知道这些数的乘积是多少。
答案对10^9+7109+7 取模。
输入输出格式
输入格式：
有多组测试数据。
第一个一个数TT ，表示数据组数。
接下来TT 行，每行两个数n,mn,m
输出格式：
输出TT 行，第ii 行的数是第ii 组数据的结果
输入输出样例
输入样例#1：
3
2 3
4 5
6 7输出样例#1：
1
6
960说明
对10\%10% 的数据，1\leq n,m\leq 1001≤n,m≤100
对30\%30% 的数据，1\leq n,m\leq 10001≤n,m≤1000
另外存在30\%30% 的数据，T\leq 3T≤3
对100\%100% 的数据，T\leq1000,1\leq n,m\leq 10^6T≤1000,1≤n,m≤106
时间限制：5s
内存限制：128MB
一道明年也做不出来的反演题，。
参考了一下洛谷题解
$$\prod_{d=1}^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mif(gcd(i,j)==d)f[gcd(i,j)]$$ $$\prod_{d=1}^{n}f[d]^{\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]}$$
观察上面的$$\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]$$
这是一个经典反演问题，它等价于
$$\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]$$
令$T=id$
$$\prod_{T=1}^{n}\prod_{d|T}f[d]^{[n/T][m/T]\mu(T/d)}$$
$$\prod_{T=1}^{n}(\prod_{d|T}f[d]^{\mu(T/d)})^{[n/T][m/T]}$$
然后对于$[n/T]$和$[m/T]$分块
里面的那一个直接暴力，
不明白为什么最后要%mod-1QWQ...
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int MAXN=1e6;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
int fastpow(int a,int p)
{
int base=1;
while(p)
{
if(p&1) base=1LL*base%mod*a%mod;
a=1LL*a%mod*a%mod%mod;
p>>=1;
}
return base%mod;
}
int mu[MAXN+10],sum[MAXN+10],fib[MAXN+10],nfib[MAXN+10],vis[MAXN+10],prime[MAXN],tot;
void Pre()
{
fib[1]=1;
for(int i=2;i<=MAXN;i++) fib[i]=(fib[i-1]%mod+fib[i-2]%mod)%mod;
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
nfib[i]=(fastpow(fib[i],mod-2)+mod)%mod;
vis[1]=1;mu[1]=1;
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
{
if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=MAXN;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}
else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
fill(sum,sum+MAXN,1);
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
{
if(mu[i]==0) continue;
for(int j=i;j<=MAXN;j+=i)
{
if(mu[i]==-1) sum[j]=1ll*sum[j]%mod*nfib[j/i]%mod;
if(mu[i]==1) sum[j]=1ll*sum[j]%mod*fib[j/i]%mod;
}
}
for(int i=1;i<=MAXN;i++) sum[i]=1ll*sum[i-1]*sum[i]%mod;
}
int main()
{
#ifdef WIN32
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
Pre();
int QWQ=read();
while(QWQ--)
{
int N=read(),M=read();
if(N>M) swap(N,M);
long long int ans=1;
for(int i=1,nxt;i<=N;i=nxt+1)
{
nxt=min(N/(N/i),M/(M/i));
long long int pw=1ll*sum[nxt]*fastpow(sum[i-1],mod-2)%mod;
ans=(1ll*ans*(fastpow(pw,1ll*(N/i)*(M/i)%(mod-1))))%mod;
}
printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}
return 0;
}