EK算法是求网络最大流的最基础的算法,也是比较好理解的一种算法,利用它可以解决绝大多数最大流问题。
但是受到时间复杂度的限制,这种算法常常有TLE的风险
还记得我们在介绍最大流的时候提到的求解思路么?
对一张网络流图,每次找出它的最小的残量(能增广的量),对其进行增广。
没错,EK算法就是利用这种思想来解决问题的
EK算法在实现时,需要对整张图遍历一边。
那我们如何进行遍历呢?BFS还是DFS?
因为DFS的搜索顺序的原因,所以某些毒瘤出题人会构造数据卡你,具体怎么卡应该比较简单,不过为了防止大家成为这种人我就不说啦(#^.^#)
所以我们选用BFS
在对图进行遍历的时候,记录下能进行增广的最大值,同时记录下这个最大值经过了哪些边。
我们遍历完之后对这条增广路上的边进行增广就好啦
代码里面我对一些重点的地方加了一些注释,如果我没写明白的话欢迎在下方评论:blush:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=2*1e6+10;
const int INF=1e8+10;
inline char nc()
{
static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
char c=nc();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=nc();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=nc();}
return x*f;
}
struct node
{
int u,v,flow,nxt;
}edge[MAXN];
int head[MAXN];
int num=0;//注意这里num必须从0开始
inline void add_edge(int x,int y,int z)
{
edge[num].u=x;
edge[num].v=y;
edge[num].flow=z;
edge[num].nxt=head[x];
head[x]=num++;
}
inline void AddEdge(int x,int y,int z)
{
add_edge(x,y,z);
add_edge(y,x,0);//注意这里别忘了加反向边
}
int N,M,S,T;
int path[MAXN];//经过的路径
int A[MAXN];//S到该节点的最小流量
inline int EK()
{
int ans=0;//最大流
while(true)//不停的找增广路
{
memset(A,0,sizeof(A));
queue<int>q;//懒得手写队列了。。。
q.push(S);
A[S]=INF;
while(q.size()!=0)
{
int p=q.front();q.pop();
for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
if(!A[edge[i].v]&&edge[i].flow)
{
path[ edge[i].v ]=i;//记录下经过的路径,方便后期增广
A[edge[i].v]=min(A[p],edge[i].flow);//记录下最小流量
q.push(edge[i].v);
}
}
if(A[T]) break;//一个小优化
}
if(!A[T]) break;//没有可以增广的路径,直接退出
for(int i=T;i!=S;i=edge[path[i]].u)//倒着回去增广
{
edge[path[i]].flow-=A[T];
edge[path[i]^1].flow+=A[T];//利用异或运算符寻找反向边,0^1=1 1^1=0
}
ans+=A[T];
}
return ans;
}
int main()
{
#ifdef WIN32
freopen("a.in","r",stdin);
#else
#endif
memset(head,-1,sizeof(head));
N=read(),M=read(),S=read(),T=read();
for(int i=1;i<=M;i++)
{
int x=read(),y=read(),z=read();
AddEdge(x,y,z);
}
printf("%d", EK() );
return 0;
}
通过上图不难看出,这种算法的性能还算是不错,
不过你可以到这里提交一下就知道这种算法究竟有多快(man)了
可以证明,这种算法的时间复杂度为O(n*m^2)
大体证一下:
我们最坏情况下每次只增广一条边,则需要增广m-1次。
在BFS的时候,由于反向弧的存在,最坏情况为n*m
总的时间复杂度为O(n*m^2)
EK算法到这里就结束了。
不过loj那道题怎么才能过掉呢?
这就要用到我们接下来要讲的其他算法