狄利克雷卷积

（留坑）

数论函数

陪域：包含值域的任意集合

数论函数：定义域为正整数，陪域为复数的函数

积性函数：对于函数f(n)，若存在任意互质的数a,b，使得a*b=n,并且f(n)=f(a)*f(b)，那么函数f(n)被称为积性函数

常见积性函数：

1(i)=1

f(i)=i

\varphi \left( i\right)(欧拉函数)

\mu \left( i\right)(莫比乌斯函数)

拓展：完全积性函数：对于函数f(n)，若存在任意数a,b(这里取消掉了互质的限制)，使得a*b==n,并且f(n)=f(a)*f(b)，那么函数f(n)被称为积性函数

狄利克雷卷积

定义函数f,g为数论函数

则他们的狄利克雷卷积可以表示为:f*g,

设h=f*g

h\left( n\right) =\sum _{d|n}f\left( n\right) g\left( \dfrac {n}{d}\right)

显然,h也是积性函数

证明：

设n=a*b

h(n)=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1d_2)g(\dfrac {a}{d_1}\dfrac {b}{d_2})

=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1)f(d_2)g(\dfrac {a}{d_1})g(\dfrac {b}{d_2})

=\sum_{d_1|a}f(d_1)g(\dfrac {a}{d_1})\sum_{d_2|b}f(d_2)g(\dfrac {b}{d_2})

=h(a)*h(b)

运算法则(懒得敲了，，，)