期望得分:30+100+0=130
实际得分:30+100+20=150
忍者钩爪
(ninja.pas/c/cpp)
小Q是一名酷爱钩爪的忍者,最喜欢飞檐走壁的感觉,有一天小Q发现一个练习使用钩爪的好地方,决定在这里大显身手。
场景的天花板可以被描述为一个无穷长的数轴,初始小Q挂在原点上。数轴上有N个坐标为整数的圆环供小Q实现钩爪移动。具体操作为:小Q可以将钩爪挂到圆环上,进而荡到关于圆环坐标轴对称的位置。例如小Q在3,圆环在7,则小Q可以通过该圆环移动到11。
现在一个问题难倒了小Q,如何判断自己能否到达某个整点呢?
第一行两个整数N,M,表示圆环的数量和询问组数
接下来一行共N个整数描述每个圆环的坐标(可重复)
接下来M行每行包含一个整数描述询问
共M行对应M个询问,若小Q能移动到目标点,输出Yes,否则输出No
题解(不是我的,所以有问题不要问我):
对于30%的分数
可以使用暴力记忆化搜索得出答案。即维护每个坐标是否可达,继而进行搜索。
对于60%的分数
通过观察可知设当前坐标为x,则通过坐标为a的圆环可移动到2a-x处。连续通过两个圆环(a,b)可以移动到x+(2b-2a)处。
先以移动步数为偶数情况考虑简化版问题:设圆环坐标为a[1]~a[n],对于任意两个圆环,可由坐标x变为x+2(a[j]-a[i]),题目转化为对于N^2个数其中b[i,j]=2(a[j]-a[i]),通过有限次加减运算能否由x=0变化至目标。
根据广义裴蜀定理以及扩展欧几里得相关原理可知,当且仅当目标为gcd的倍数时有解。故预处理出全部可能的2(a[j]-a[i]),求出其最大公约数,在判断目标是否为gcd的倍数即可。
对于奇数的情况,可以通过枚举第一步的方案转化为偶数的情况,即维护一个set表示0步或1步可达点集(mod gcd意义下),再查询目标点在mod gcd下是否属于这个集合即可。复杂度瓶颈在于N^2个数求gcd。
对于100%的分数
通过欧几里得算法的性质与更相减损术可知gcd(a,b)=gcd(a-b,b)。设p1={2*(a[i]-a[1])|i>1}的最大公约数,设p2={2*(a[i]-a[j])}的最大公约数,易知p1>=p2(因为p1比p2约束宽松)。而对于任意i,j由于p1同时是2*(a[i]-a[1])、2*(a[j]-a[1])的约束,那么p1也一定是任意2*(a[i]-a[1])-2*(a[j]-a[1])=2*(a[i]-a[j])的约数,故p1<=p2。综上所述p1=p2,这样就不需要N^2个数同时求gcd了,只求p1即可,可获得满分。
#include<set>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 100001
LL a[N];
set<LL>S;
void read(LL &x)
{
x=0; int f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) { if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
x*=f;
}
LL getgcd(LL i,LL j) { return !j ? i : getgcd(j,i%j); }
int main()
{
freopen("ninja.in","r",stdin);
freopen("ninja.out","w",stdout);
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
LL gcd=0;
for(int i=2;i<=n;i++) gcd=getgcd(abs(a[i]-a[1]<<1),gcd);
LL x;
if(gcd)
{
S.insert(0);
for(int i=1;i<=n;i++) S.insert((2*a[i]%gcd+gcd)%gcd);
while(m--)
{
read(x);
puts(S.find((x%gcd+gcd)%gcd)!=S.end() ? "Yes" : "No");
}
}
else
{
while(m--)
{
read(x);
puts(x==a[1]*2 ? "Yes" : "No");
}
}
}
30暴力
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int tmp[11];
int n,a[100001];
bool ok[20005];
void judge()
{
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(tmp[i]==1) cnt1++;
else if(tmp[i]==-1) cnt2++;
if(cnt1==cnt2 || cnt1==cnt2+1)
{
int t=0;
for(int i=1;i<=n;i++) t+=tmp[i]*a[i];
ok[t]=true;
}
}
void dfs(int now)
{
if(now==n+1)
{
judge();
return;
}
tmp[now]=0; dfs(now+1);
tmp[now]=1; dfs(now+1);
tmp[now]=-1; dfs(now+1);
}
int main()
{
freopen("ninja.in","r",stdin);
freopen("ninja.out","w",stdout);
int m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
int x;
if(n<=10)
{
dfs(1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&x);
if(x&1) puts("No");
else puts(ok[x>>1] ? "Yes" : "No");
}
}
else
{
sort(a+1,a+n+1);
long long maxn=0,minn; int mid=n/2;
if(mid==n*2)
{
for(int i=1;i<=mid;i++) maxn+=a[mid+i]-a[i];
}
else
{
for(int i=1;i<=mid;i++) maxn+=a[mid+i+1]-a[i];
maxn+=a[mid+1];
}
minn=-maxn;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&x);
if(x&1) puts("Yes");
else if(x>maxn || x<minn) puts("No");
else puts("Yes");
}
}
}
线段树
先下放取反标记,在下方加标记
下放取反标记时,若存在加标记,加标记也取反
关键是如何处理加标记的影响
设当前线段树区间有4个数x1,x2,x3,x4
sum[i] 表示 选出i个数的乘积 的和
sum[1]=x1+x2+x3+x4
sum[2]=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4
sum[3]=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4
sum[4]=x1x2x3x4
操作:区间加a
以sum[3]为例
新的sum[3]=
(x1+a)(x2+a)(x3+a) +
(x1+a)(x2+a)(x4+a) +
(x1+a)(x3+a)(x4+a) +
(x2+a)(x3+a)(x4+a)
=x1x2x3+a(x1x2+x1x3+x2x3)+a^2(x1+x2+x3)+a^3 +
x1x2x4+a(x1x2+x1x4+x2x4)+a^2(x1+x2+x4)+a^3 +
x1x3x4+a(x1x3+x1x4+x3x4)+a^2(x1+x3+x4)+a^3 +
x2x3x4+a(x2x3+x2x4+x3x4)+a^2(x2+x3+x4)+a^3
=sum[3] + a*sum[2]*2 + a^2*sum[1]*3 + a^4
所以 对有siz个元素的区间执行区间加a操作
那么sum[]的更新:
for i: 10 ——> 1
for j:i-1——>1
sum[i]+=a^(i-j)*sum[j]*C(siz-j,i-j)
解释:
有i个(xi+a)相乘
从里面选出j个xi,那就只能选i-j个a
后面那个组合数?
一共有siz个(xi+a) ,已经确定了有j个(xi+a)选择xi
一共要选i个(xi+a),那就要从剩下的siz-j个(xi+a)里选出 i-j个(xi+a)来用他们的a
所以是C(siz-j,i-j)
区间的合并
枚举左边选j个,那右边就选i-j个,乘起来就行了
例:
假设当前要选3个数
左边有2个数x1,x2 选1个,
右边有3个数x3,x4,x5 选2个
那就是 x1*x3*x4+x1*x3*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x2*x3*x5+x2*x4*x5
=x1*右边的sum[2]+x2*右边的sum[2]
=左边的sum[1] * 右边的sum[2]
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 50001
const int mod=1e9+7;
typedef long long LL;
int n;
int C[N][11];
int f[N<<2];
int siz[N<<2],mid[N<<2];
bool rev[N<<2];
struct node { int sum[11]; }ans[N<<2];
void read(int &x)
{
x=0; int ff=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) { if(c=='-') ff=-1; c=getchar(); }
while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
x*=ff;
}
int tot=0;
void MOD(int &a,int b)
{
a+=b;
a-= a>=mod ? mod : 0;
}
void pre(int n)
{
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=min(i,10);j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
}
}
void update(int k)
{
for(int i=1;i<=10;i++)
{
ans[k].sum[i]=0;
for(int j=1;j<i;j++) MOD(ans[k].sum[i],1ll*ans[k<<1].sum[j]*ans[k<<1|1].sum[i-j]%mod);
MOD(ans[k].sum[i],ans[k<<1].sum[i]); MOD(ans[k].sum[i],ans[k<<1|1].sum[i]);
}
}
void build(int k,int l,int r)
{
siz[k]=r-l+1;
if(l==r) { read(ans[k].sum[1]); MOD(ans[k].sum[1],0); return; }
mid[k]=l+r>>1;
build(k<<1,l,mid[k]); build(k<<1|1,mid[k]+1,r);
update(k);
}
void insert(int k,int w)
{
MOD(f[k],w);
for(int i=10;i;i--)
{
int x=w;
for(int j=i-1;j;j--,x=1ll*x*w%mod)
MOD(ans[k].sum[i],1ll*x*ans[k].sum[j]%mod*C[siz[k]-j][i-j]%mod);
MOD(ans[k].sum[i],1ll*x*C[siz[k]][i]%mod);
}
}
void turn(int k)
{
rev[k]^=1;
if(f[k]) f[k]=mod-f[k];
for(int i=9;i>0;i-=2)
if(ans[k].sum[i]) ans[k].sum[i]=mod-ans[k].sum[i];
}
void down(int k)
{
if(rev[k]) turn(k<<1),turn(k<<1|1),rev[k]=0;
if(f[k]) insert(k<<1,f[k]),insert(k<<1|1,f[k]),f[k]=0;
}
void add(int k,int l,int r,int opl,int opr,int w)
{
if(l>=opl && r<=opr) { insert(k,w); return; }
down(k);
if(opl<=mid[k]) add(k<<1,l,mid[k],opl,opr,w);
if(opr>mid[k]) add(k<<1|1,mid[k]+1,r,opl,opr,w);
update(k);
}
void reverse(int k,int l,int r,int opl,int opr)
{
if(l>=opl && r<=opr) { turn(k); return; }
down(k);
if(opl<=mid[k]) reverse(k<<1,l,mid[k],opl,opr);
if(opr>mid[k]) reverse(k<<1|1,mid[k]+1,r,opl,opr);
update(k);
}
node query(int k,int l,int r,int opl,int opr,int w)
{
if(l>=opl && r<=opr) return ans[k];
down(k);
if(opr<=mid[k]) return query(k<<1,l,mid[k],opl,opr,w);
else if(opl>mid[k]) return query(k<<1|1,mid[k]+1,r,opl,opr,w);
else
{
node L=query(k<<1,l,mid[k],opl,opr,w),R=query(k<<1|1,mid[k]+1,r,opl,opr,w);
node tmp;
for(int i=1;i<=w;i++)
{
tmp.sum[i]=(L.sum[i]+R.sum[i])%mod;
for(int j=1;j<i;j++) MOD(tmp.sum[i],1ll*L.sum[j]*R.sum[i-j]%mod);
}
return tmp;
}
}
int main()
{
freopen("game.in","r",stdin);
freopen("game.out","w",stdout);
int n,m;
read(n); read(m);
pre(n);
build(1,1,n);
int ty,l,r,w;
while(m--)
{
read(ty); read(l); read(r);
if(ty==1)
{
read(w); w%=mod;
w+= w<0 ? mod : 0;
add(1,1,n,l,r,w);
}
else if(ty==2) reverse(1,1,n,l,r);
else
{
read(w);
node p=query(1,1,n,l,r,w);
printf("%d\n",query(1,1,n,l,r,w).sum[w]);
}
}
}
GG
20分暴力
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,N,d;
double a[17][17],b[177150];
int ty[17],tmp[11],bit[11];
double ans;
void init()
{
scanf("%d%d",&n,&N);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%lf",&a[i][j]);
scanf("%d",&d);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&ty[i]);
}
void add(double may)
{
int t=0;
for(int i=1;i<=N;i++) t+=tmp[i]*bit[i-1];
b[t]+=may;
}
void dfs(int tim,int now,double may)
{
if(tim==N+1) { add(may); return; }
for(int i=1;i<=n;i++)
{
tmp[tim]=ty[i];
dfs(tim+1,i,may*a[now][i]);
}
}
int main()
{
freopen("walk.in","r",stdin);
freopen("walk.out","w",stdout);
init();
tmp[1]=ty[1];
bit[0]=1; for(int i=1;i<=N;i++) bit[i]=bit[i-1]*3;
dfs(2,1,1.0);
int tot=pow(3,N);
for(int i=0;i<tot;i++) ans+=b[i]*b[i];
printf("%.9lf",ans);
}