P2261 [CQOI2007]余数求和

题目背景

数学题，无背景

题目描述

给出正整数n和k，计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29

输入输出格式

输入格式：

两个整数n k

输出格式：

答案

输入输出样例

输入样例#1：

10 5

输出样例#1：

29

说明

30%: n,k <= 1000

60%: n,k <= 10^6

100% n,k <= 10^9

找规律并证明可知：

$

也就是说两个相邻的自然数，若被k除的商相同，则被k取模后的两个数相差-q。

所以，只要找出一个区间[i,j]，使得k/i=k/(i+1)=...=k/j，即可用等差数列公式求出k mod i + k mod (i+1) + ... + k mod j。

这个任务就是：解方程[k/x]=p。

可以轻易得到px<=k<(p+1)x，而我们只关注px<=k，即x<=k/p，得出x=[k/p]。

对于每一个i，令p=[k/i], q=k mod i,j=min(n,k/p)。

根据等差数列公式得到k mod i + ... + k mod j = q*(j-i+1)-(j-i+1)*(j-i)/2*p。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define lli long long int 
using namespace std;
void read(lli &n)
{
	char c='+';lli x=0;bool flag=0;
	while(c<'0'||c>'9')
	{c=getchar();if(c=='-')flag=1;}
	while(c>='0'&&c<='9')
		x=x*10+(c-48),c=getchar();
	flag==1?n=-x:n=x;
}	
lli ans=0,p,q,n,k;
int main()
{	

    read(n);read(k);
    for(lli i=1; i<=n; i++) 
	{
        p=k/i;q=k%i;
        lli j=p?k/p:n;
        if(j>n)
			j=n;
        ans+=q*(j-i+1)-(j-i+1)*(j-i)/2*p;
        i=j;
    }
    printf("%lld",ans);
	return 0;
}