P1146 硬币翻转

题目描述

在桌面上有一排硬币,共N枚,每一枚硬币均为正面朝上。现在要把所有的硬币翻转成反面朝上,规则是每次可翻转任意N-1枚硬币(正面向上的被翻转为反面向上,反之亦然)。求一个最短的操作序列(将每次翻转N-1枚硬币成为一次操作)。

输入输出格式

输入格式:

输入只有一行,包含一个自然数N(N为不大于100的偶数)。

输出格式:

输出文件的第一行包含一个整数S,表示最少需要的操作次数。接下来的S行每行分别表示每次操作后桌上硬币的状态(一行包含N个整数(0或1),表示每个硬币的状态:0――正面向上,和1――反面向上,不允许出现多余空格)。

对于有多种操作方案的情况,则只需字典序最小输出一种。

输入输出样例

输入样例#1:

4

输出样例#1:

4
0111
1100
0001
1111

数学方法:第i次翻转就是翻转除了第i个硬币以外的所有硬币。

下面给出文字证明:

证明1

定义翻某n-1个为A类操作。

定义B操作,是把所有的硬币全部翻面。

定义C操作,是翻某一个硬币。

题主的问题是若干次A操作之后能否达到某个状态,而一个A操作等同于做一次B一次C,注意到B和C操作是可交换的,因此可以理解为先做若干次数的C操作,然后再做相同次数的B操作。

而做若干次C操作相当于一个一个硬币地翻,所以第i次翻转就是翻转除了第i个硬币以外的所有硬币。

证明2

当然,也可以这样解释:做一个很简单的变换--把每次翻转5个硬币,分解成两步:

1、把一个硬币翻转一次;

2、把所有的硬币翻转一次

如果p为偶数,那么上面的第二步实际上被抵消了,所以相当于每次只做第一步。所以p=6.

如果p是奇数,那么相当于每次只做第一步,最后把所有的硬币翻一次面,这等价于只做奇数次第一步,最后保持所有的硬币仍然是正面向上,这显然是不能做到的。

综上,p=6

证明3

要让所有硬币翻过来,要做的就是每个硬币翻奇数次。

总共六个硬币,每次翻五个。

那么情况就只有每个硬币翻一次、三次、五次。

但是每次只能翻五个,不能多不能少,所以就要求总共翻的次数是5的整倍数。

所以就是每个硬币翻五次。总共翻了5x6=30次

每次翻5个

30/5=6次

答:最少翻六次

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 using namespace std;
 6 int a[10001];
 7 int main()
 8 {
 9     ios::sync_with_stdio(false);
10     int n;
11     cin>>n;
12     cout<<n<<endl;
13     for(int i=1;i<=n;i++)
14     {
15         for(int j=1;j<=n;j++)
16         {
17             if(j!=i)
18             {
19                 a[j]==1?a[j]=0:a[j]=1;
20             }
21         }
22         for(int i=1;i<=n;i++)
23             cout<<a[i];
24         cout<<endl;
25     }
26     return 0;
27 }

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