给出一个长为n的数列,以及n个操作,操作涉及区间加法,单点查值。
这是一道能用许多数据结构优化的经典题,可以用于不同数据结构训练。
数列分块就是把数列中每m个元素打包起来,达到优化算法的目的。
以此题为例,如果我们把每m个元素分为一块,共有n/m块,每次区间加的操作会涉及O(n/m)个整块,以及区间两侧两个不完整的块中至多2m个元素。
我们给每个块设置一个加法标记(就是记录这个块中元素一起加了多少),每次操作对每个整块直接O(1)标记,而不完整的块由于元素比较少,暴力修改元素的值。
每次询问时返回元素的值加上其所在块的加法标记。
这样每次操作的复杂度是O(n/m)+O(m),根据均值不等式,当m取√n时总复杂度最低,为了方便,我们都默认下文的分块大小为√n。
区间加法
1 void interval_add(int ll,int rr,int v)
2 {
3 for(int i=ll;i<=min(where[ll]*m,rr);i++)
4 //这里判断的是where[ll]是不完全块的情况,也就是ll在他实际块最左端的右侧,
5 // 然后便利ll-所在块的结尾/rr,暴力增加
6 a[i]+=v;
7 if(where[ll]!=where[rr])
8 // 注意如果是ll和rr在一个块中的话,上面已经加过一边,所以不用加
9 {
10 for(int i=(where[rr]-1)*m;i<=rr;i++)
11 // 这里判断的是rr在他实际所在块的最右端左侧的情况
12 // where[i]*m表示的是第i个块最右端的元素
13 // where[rr]-1就是rr所在块左边那个块最右端的元素
14 // 一直到rr暴力增加
15 a[i]+=v;
16 }
17 for(int i=where[ll]+1;i<=where[rr]-1;i++)
18 //这里where[ll]和where[rr]均已暴力处理过,所以只枚举中间的块就可以
19 add[i]+=v;
20 }
单点查询
1 printf("%d\n",a[v]+add[where[v]]);
完整代码
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 using namespace std;
6 const int MAXN=100001;
7 int n,q,m,how,l,r,v;
8 int a[MAXN];// 初始值
9 int add[MAXN];// 后来每个块上加入的值
10 int where[MAXN];// 记录每一个值对应第几块
11 void interval_add(int ll,int rr,int v)
12 {
13 for(int i=ll;i<=min(where[ll]*m,rr);i++)
14 //这里判断的是where[ll]是不完全块的情况,也就是ll在他实际块最左端的右侧,
15 // 然后便利ll-所在块的结尾/rr,暴力增加
16 a[i]+=v;
17 if(where[ll]!=where[rr])
18 // 注意如果是ll和rr在一个块中的话,上面已经加过一边,所以不用加
19 {
20 for(int i=(where[rr]-1)*m;i<=rr;i++)
21 // 这里判断的是rr在他实际所在块的最右端左侧的情况
22 // where[i]*m表示的是第i个块最右端的元素
23 // where[rr]-1就是rr所在块左边那个块最右端的元素
24 // 一直到rr暴力增加
25 a[i]+=v;
26 }
27 for(int i=where[ll]+1;i<=where[rr]-1;i++)
28 //这里where[ll]和where[rr]均已暴力处理过,所以只枚举中间的块就可以
29 add[i]+=v;
30 }
31 int main()
32 {
33 scanf("%d",&n);
34 m=sqrt(n);
35 for(int i=1;i<=n;i++)
36 scanf("%d",&a[i]);
37 for(int i=1;i<=n;i++)
38 where[i]=(i-1)/m+1;// 这里的i可以-1(hzwer写的是-1)也可以不写,不写的话第一块的元素个数会是m-1
39 scanf("%d",&q);
40 for(int i=1;i<=q;i++)
41 {
42 scanf("%d",&how);
43 if(how==1)// 区间加
44 {
45 scanf("%d%d%d",&l,&r,&v);
46 interval_add(l,r,v);
47 }
48 else// 单点查询
49 {
50 scanf("%d",&v);
51 printf("%d\n",a[v]+add[where[v]]);
52 // where保存的是这个点所属的块,add表示这个块已经增加的元素
53 //a[v]是这个点开始的值,一加就是答案
54 }
55 }
56 return 0;
57 }