1775. [国家集训队2010]小Z的袜子

【题目描述】

    作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……

    具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。

    你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

【输入格式】

    输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。

    接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。

    再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。

【输出格式】

    输出文件包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)

【样例输入】

6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

【样例输出】

2/5

0/1

1/1

4/15

【样例说明】

    询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。

    询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。

    询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。

    注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。

【数据范围及约定】

    30%的数据中 N,M ≤ 5000;

    60%的数据中 N,M ≤ 25000;

    100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。

这道题题目很简单,就是计算出在区间内Cm2的方案,

我们可以想到用莫队算法来求解,对于每一次移动,我们只要减去或者加上该点所对应的方案数即可

我的代码参考了hzwer,还有一两句不太明白,第26行和第89行,如果有能看懂的欢迎在评论区写下你的理解,

O(∩_∩)O谢谢

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cmath>
  5 #include<algorithm>
  6 #define LL long long 
  7 using namespace std;
  8 const LL MAXN=50001;
  9 LL n,q,m;
 10 struct node
 11 {
 12     LL l,r,id;
 13     LL fz,fm;
 14 }a[MAXN];
 15 LL pos[MAXN];// 记录每一个块的位置
 16 LL c[MAXN];// 记录每一个点的初始值 
 17 LL num[MAXN];// 记录每个点的满足条件的个数 
 18 LL ans=0;
 19 LL gcd(LL a,LL b)
 20 {
 21     return b==0?a:gcd(b,a%b);// 因为最后的输出要求最简形式
 22     // 所以要把分子分母同除最大公约数 
 23 }
 24 LL mul(LL x)
 25 {
 26     return x*x;// 组合数的计算 
 27 }
 28 LL comp_mo(const node & a,const node & b)
 29 {
 30     if(pos[a.l] == pos[b.l])
 31         return a.r < b.r;
 32     return a.l < b.l;
 33     //按照第一关键字每个块从小到大,第二关键字右边界从小到大的顺序进行排序
 34 }
 35 LL comp_id(const node & a,const node & b)
 36 {
 37     return a.id < b.id;
 38     //按照id从小到大排序 
 39 }
 40 void updata(LL where,LL add)
 41 {
 42     ans-=mul(num[c[where]]);
 43     num[c[where]]+=add;
 44     ans+=mul(num[c[where]]);
 45     // 求组合数 
 46 }
 47 void init()
 48 {
 49     scanf("%lld%lld",&n,&q);// n袜子数量,q:询问数量 
 50     for(LL i=1;i<=n;i++)
 51         scanf("%lld",&c[i]);//每个袜子的颜色 
 52         
 53     m=sqrt(n);// 分块的大小,固定格式 
 54     for(LL i=1;i<=n;i++)
 55         pos[i]=(i-1)/m+1;// 进行分块 
 56         
 57     for(LL i=1;i<=q;i++)
 58         scanf("%lld%lld",&a[i].l,&a[i].r),a[i].id=i;
 59     // 输入每个查询的边界,
 60     // 因为莫队算法是离线的,所以必须保存输入的内容
 61     // 因为后期输出的时候需要按顺序输出,而第一次的排序会打乱顺序,所以需要记录id来重新排序 
 62     sort(a+1,a+q+1,comp_mo);
 63     //按照第一关键字每个块从小到大,第二关键字右边界从小到大的顺序进行排序
 64     //这样可以有效的降低后期ll和rr的移动,自己脑补一下 
 65 }
 66 void solve()
 67 {
 68     LL ll=1,rr=0;// 把ll to rr设成空集,保证没有元素干扰 
 69     for(LL i=1;i<=q;i++)// 处理每个询问 
 70     {
 71         for(;rr<a[i].r;rr++)// 不断地调整rr指针的位置 
 72             updata(rr+1,+1);
 73         //updata是更新ans的数量
 74         //因为rr向右移动了一位,所以ll--rr之间的元素个数就多了一个,这样组合的数量也多了一个 
 75         for(;rr>a[i].r;rr--)
 76             updata(rr,-1);
 77         //同理rr左移,值也减小 
 78         for(;ll<a[i].l;ll++)
 79             updata(ll,-1);
 80         // ll与rr相反,自行脑补 
 81         for(;ll>a[i].l;ll--)
 82             updata(ll-1,+1);
 83         if(a[i].l==a[i].r)//袜子只有一个,所以不存在颜色相同的方案 
 84         {
 85             a[i].fz=0;
 86             a[i].fm=1;
 87             continue;
 88         }
 89         a[i].fz=ans-(a[i].r-a[i].l+1);
 90         
 91         a[i].fm=(LL)(a[i].r-a[i].l+1)*(a[i].r-a[i].l);
 92         // 发现一个很神奇的规律,Cm2(下m上2)=(m*(m-1))/2 
 93         LL k=gcd(a[i].fz,a[i].fm);
 94         a[i].fz=a[i].fz/k;
 95         a[i].fm=a[i].fm/k;// 最简形式 
 96     }
 97     sort(a+1,a+q+1,comp_id);
 98     for(LL i=1;i<=q;i++)
 99         printf("%lld/%lld\n",a[i].fz,a[i].fm);
100 }
101 int main()
102 {
103     //freopen("hose.in","r",stdin);
104     //freopen("hose.out","w",stdout);
105     init();// 读入 
106     solve();// 莫队
107     // 简洁的主函数 
108     return 0;
109 }

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