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机器学习(三):K均值聚类

机器学习中有两类的大问题,一个是分类,一个是聚类。 分类是根据一些给定的已知类别标号的样本,训练某种学习机器,使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning(监督学习)。 而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号,希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别,这在机器学习中被称作 unsupervised learning (无监督学习)。 k均值(k-means)算法就是一种比较简单的聚类算法。

一、k-means基本思想

K-means算法是聚类分析中使用最广泛的算法之一。它把n个对象根据他们的属性分为k个聚类以便使得所获得的聚类满足:同一聚类中的对象相似度较高;而不同聚类中的对象相似度较小。 比如下图中的n个点,就可以分为3个聚类,用不同的颜色表示。

image1.jpg

k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是:

formula1.png

式中,μc(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小,直观的来说,各类内的样本越相似,其与该类均值间的误差平方越小,对所有类所得到的误差平方求和,即可验证分为k类时,各聚类是否是最优的。

上式的代价函数无法用解析的方法最小化,只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇(cluster),其中k是用户给定的,其求解过程非常直观简单,具体算法描述如下:

(1)随机选取 k个聚类质心点 (2)重复下面过程直到收敛

{ 对于每一个样例 i,计算其应该属于的类:

formula2.png

对于每一个类 j,重新计算该类的质心:

formula3.png

}

下图从(a)到(f)演示了对n个样本点进行K-means聚类的过程和效果,这里k取2。

image2.jpg

二、伪代码

创建k个点作为初始的质心点(随机选择)
当任意一个点的簇分配结果发生改变时
       对数据集中的每一个数据点
              对每一个质心
                     计算质心与数据点的距离
              将数据点分配到距离最近的簇

       对每一个簇,计算簇中所有点的均值,并将均值作为质心

三、程序

编写此程序使用的是python 3,并且需要安装Numpy和matplotlib库。 安装方法可参考 https://www.jianshu.com/p/717521015940

(一)

为了方便理解,咱们第一次只准备了四组数据,放在testSet.txt里

1.658985    4.285136
-3.453687    3.424321
4.838138    -1.151539
-5.379713    -3.362104

在程序里,可以逐步打印出执行结果

from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
# 计算欧氏距离的平方
def euclDistance(vector1, vector2):
    return sum(power(vector2 - vector1, 2))
# 用随机样本初始化中心centroids
def initCentroids(dataSet, k):
    numSamples, dim = dataSet.shape
    centroids = zeros((k + 1, dim))
    print("\n")
    s = set()
    for i in range(1, k + 1):
        while True:
            index = int(random.uniform(0, numSamples))
            #这里为了方便查看结果,下面四行代码强制将两次随机数分别置为1和0
            #若能理解此程序,则下面四行代码要删掉,才是真正的随机数
            if 1 == i:
                index = 1
            elif 2 == i:
                index = 0
            #去重操作
            if index not in s:
                s.add(index)
                break
        print ("random index: %d" % index)
        centroids[i, :] = dataSet[index, :]
    print("\ncentroids:")
    print(centroids)
    return centroids
# 与中心的距离平方和,即最小误差平方和
def getTotalDistance(clusterAssment):
    len = clusterAssment.shape[0]
    Sum = 0.0
    for i in range(len):
        Sum = Sum + clusterAssment[i, 1]
    return Sum
# k-means主算法
def kmeans(dataSet, k):
    numSamples = dataSet.shape[0]
    # 第一列存这个样本点属于哪个簇
    # 第二列存这个样本点和样本中心的误差
    clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
    for i in range(numSamples):
        clusterAssment[i, 0] = -1
    print("\nInitial clusterAssment:")
    print(clusterAssment)
    clusterChanged = True
    # step 1: 初始化中心centroids
    centroids = initCentroids(dataSet, k)
    # 如果收敛完毕,则clusterChanged为False
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        # 对于每个样本点
        print("\n")
        for i in range(numSamples):
            minDist = 100000.0
            minIndex = 0
            # 对于每个样本中心
            # step 2: 找到最近的样本中心
            for j in range(1, k + 1):
                distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
                print("i = %d, j = %d, distance = %s" % (i, j, distance))
                if distance < minDist:
                    minDist = distance
                    minIndex = j
            print("minIndex = %d, minDist = %f" % (minIndex, minDist))
            # step 3: 更新样本点与中心点的分配关系
            if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
                clusterChanged = True
                clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist
            else:
                clusterAssment[i, 1] = minDist
            print ("clusterAssment:\n %s \n" % clusterAssment)
        # step 4: 更新样本中心
        for j in range(1, k + 1):
            # 改变中心心位置
            pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
            print("\nPointsInCluster:\n%s\n" % pointsInCluster)
            centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis=0)
            print("\ncentroids:\n%s\n" % centroids)
    print ('Congratulations, cluster complete!')
    return centroids, clusterAssment
# 以2D形式可视化数据
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
    numSamples, dim = dataSet.shape
    if dim != 2:
        print ("Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!")
        return 1
    mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
    if k > len(mark):
        print ("Sorry! Your k is too large!")
        return 1
    # 绘制所有非中心样本点
    for i in range(numSamples):
        markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
        plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex - 1])
    mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
    # 绘制中心点
    for i in range(1, k + 1):
        plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i - 1], markersize=12)
    plt.show()
# step 1: 载入数据
print ("step 1: load data...")
dataSet = []
fileIn = open('./testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
    lineArr = line.strip().split('\t')
    dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
# step 2: 开始聚合...
print ("step 2: clustering...")
dataSet = mat(dataSet)
print ("dataSet:")
print (dataSet)
k = 2
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)
# 
print ("Final centroids:")
print (centroids)
print ("Final clusterAssment:")
print (clusterAssment)
print ("Total distance:")
print (getTotalDistance(clusterAssment))
# step 3: 显示结果
print ("step 3: show the result...")
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行结果:

result1.png

result2.png

(二)

为了观察到更好的效果,这次准备了多一点(80行)数据,放在testSet2.txt里

1.658985    4.285136
-3.453687    3.424321
4.838138    -1.151539
-5.379713    -3.362104
0.972564    2.924086
-3.567919    1.531611
0.450614    -3.302219
-3.487105    -1.724432
2.668759    1.594842
-3.156485    3.191137
3.165506    -3.999838
-2.786837    -3.099354
4.208187    2.984927
-2.123337    2.943366
0.704199    -0.479481
-0.392370    -3.963704
2.831667    1.574018
-0.790153    3.343144
2.943496    -3.357075
-3.195883    -2.283926
2.336445    2.875106
-1.786345    2.554248
2.190101    -1.906020
-3.403367    -2.778288
1.778124    3.880832
-1.688346    2.230267
2.592976    -2.054368
-4.007257    -3.207066
2.257734    3.387564
-2.679011    0.785119
0.939512    -4.023563
-3.674424    -2.261084
2.046259    2.735279
-3.189470    1.780269
4.372646    -0.822248
-2.579316    -3.497576
1.889034    5.190400
-0.798747    2.185588
2.836520    -2.658556
-3.837877    -3.253815
2.096701    3.886007
-2.709034    2.923887
3.367037    -3.184789
-2.121479    -4.232586
2.329546    3.179764
-3.284816    3.273099
3.091414    -3.815232
-3.762093    -2.432191
3.542056    2.778832
-1.736822    4.241041
2.127073    -2.983680
-4.323818    -3.938116
3.792121    5.135768
-4.786473    3.358547
2.624081    -3.260715
-4.009299    -2.978115
2.493525    1.963710
-2.513661    2.642162
1.864375    -3.176309
-3.171184    -3.572452
2.894220    2.489128
-2.562539    2.884438
3.491078    -3.947487
-2.565729    -2.012114
3.332948    3.983102
-1.616805    3.573188
2.280615    -2.559444
-2.651229    -3.103198
2.321395    3.154987
-1.685703    2.939697
3.031012    -3.620252
-4.599622    -2.185829
4.196223    1.126677
-2.133863    3.093686
4.668892    -2.562705
-2.793241    -2.149706
2.884105    3.043438
-2.967647    2.848696
4.479332    -1.764772
-4.905566    -2.911070

代码与上面的几乎一样,只是做了少量修改

from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
# 计算欧氏距离的平方
def euclDistance(vector1, vector2):
    return sum(power(vector2 - vector1, 2))
# 用随机样本初始化中心centroids
def initCentroids(dataSet, k):
    numSamples, dim = dataSet.shape
    centroids = zeros((k + 1, dim))
    print("\n")
    s = set()
    for i in range(1, k + 1):
        while True:
            index = int(random.uniform(0, numSamples))              
            #去重操作
            if index not in s:
                s.add(index)
                break
        centroids[i, :] = dataSet[index, :]
    return centroids
# 与中心的距离平方和,即最小误差平方和
def getTotalDistance(clusterAssment):
    len = clusterAssment.shape[0]
    Sum = 0.0
    for i in range(len):
        Sum = Sum + clusterAssment[i, 1]
    return Sum
# k-means主算法
def kmeans(dataSet, k):
    numSamples = dataSet.shape[0]
    # 第一列存这个样本点属于哪个簇
    # 第二列存这个样本点和样本中心的误差
    clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
    for i in range(numSamples):
        clusterAssment[i, 0] = -1
    clusterChanged = True
    # step 1: 初始化中心centroids
    centroids = initCentroids(dataSet, k)
    # 如果收敛完毕,则clusterChanged为False
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        # 对于每个样本点
        for i in range(numSamples):
            minDist = 100000.0
            minIndex = 0
            # 对于每个样本中心
            # step 2: 找到最近的样本中心
            for j in range(1, k + 1):
                distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
                if distance < minDist:
                    minDist = distance
                    minIndex = j
            # step 3: 更新样本点与中心点的分配关系
            if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
                clusterChanged = True
                clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist
            else:
                clusterAssment[i, 1] = minDist
        # step 4: 更新样本中心
        for j in range(1, k + 1):
            # 改变中心心位置
            pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
            centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis=0)
    print ('Congratulations, cluster complete!')
    return centroids, clusterAssment
# 以2D形式可视化数据
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
    numSamples, dim = dataSet.shape
    if dim != 2:
        print ("Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!")
        return 1
    mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
    if k > len(mark):
        print ("Sorry! Your k is too large!")
        return 1
    # 绘制所有非中心样本点
    for i in range(numSamples):
        markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
        plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex - 1])
    mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
    # 绘制中心点
    for i in range(1, k + 1):
        plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i - 1], markersize=12)
    plt.show()
# step 1: 载入数据
print ("step 1: load data...")
dataSet = []
fileIn = open('./testSet2.txt')
for line in fileIn.readlines():
    lineArr = line.strip().split('\t')
    dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
# step 2: 开始聚合...
print ("step 2: clustering...")
dataSet = mat(dataSet)
print ("dataSet:")
print (dataSet)
k = 4
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)
# 
print ("Final centroids:")
print (centroids)
print ("Final clusterAssment:")
print (clusterAssment)
print ("Total distance:")
print (getTotalDistance(clusterAssment))
# step 3: 显示结果
print ("step 3: show the result...")
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行结果:

result3.png

result4.png

四、Github源码下载

https://github.com/zhenghaishu/MachineLearning/tree/master/KMeans

五、参考

(1)http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17589329

(2)http://blog.csdn.net/eventqueue/article/details/73133617

本文分享自微信公众号 - 海天一树(gh_de7b45c40e8b)

原文出处及转载信息见文内详细说明,如有侵权,请联系 yunjia_community@tencent.com 删除。

原始发表时间:2018-03-19

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