矩阵理论·范数

向量范数

  • 1-范数: ,即向量元素绝对值之和,matlab调用函数norm(x, 1) 。
  • 2-范数:,Euclid范数(欧几里得范数,常用计算向量长度),即向量元素绝对值的平方和再开方,matlab调用函数norm(x, 2)。
  • -范数:,即所有向量元素绝对值中的最大值,matlab调用函数norm(x, inf)。
  • -∞-范数:,即所有向量元素绝对值中的最小值,matlab调用函数norm(x, -inf)。
  • p-范数:,即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂,matlab调用函数norm(x, p)。

矩阵范数

  • 1-范数:, 列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, 1)。
  • 2-范数:,为的最大特征值。,谱范数,即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。-范数:,行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, inf)。
  • F-范数:,Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方,matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。
  • 核范数:是A的奇异值。

矩阵范数:矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号; 向量范数:向量x的2范数是x中各个元素平方之和再开根号; 函数范数:函数f(x)的2范数是x在区间(a,b)上f(x)的平方的积分再开根号。

2-范数:║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A*A^H) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即AA'特征值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H为A的转置共轭矩阵)。

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