科学瞎想系列之六十 说说振动

所谓振动从狭义的理解就是物体在其平衡位置附近做往复运动，从广义的理解就是某个物理量围绕某个值附近波动（也称振荡）。振动无处不在，例如宝宝们的小心脏每时每刻都在不停地跳动; 宝宝们耳朵听到的各种悦耳的声音和烦人的噪音都说明你周围的空气在颤抖; 我们用的交流电其电压电流也是在以每秒50次地上下翻飞; 还有随时存在的各种机械振动、随时可能给宝宝们以灭顶之灾的地震...研究和分析振动问题至关重要。我们研究振动主要是通过振动机理的研究，分析掌握振动的规律，再通过科学合理的设计，抑制和控制有害的振动，充分利用有利的振动。

我们先说说振动的分类。按振动的输入特性分，可分为受迫振动、自由振动和自激振动三种。深夜当宝宝们寂寞难耐时，许多宝宝就会拿起手机疯狂地摇动，希望能摇出个艳遇来，此时手机就产生了振动，由于手机的振动是靠手摇被迫产生的，我们把这种振动称为受迫振动，用专业的语言说，受迫振动就是系统受外界持续的激振作用而被迫产生的振动，其振动特性除决定于系统本身的特性外，还决定于激励的特性。除了受迫振动之外，宝宝们再想像一个场景，一个跳水运动员静静地站在跳板的端头，屏住呼吸，跳板微微弯曲一动不动，此时即是平衡位置，当运动员用力踩踏一下跳板，接下来会发生什么？哎哎哎！说你呢！看哪儿呢？！眼睛不要老盯着人家的泳衣！老师在问你踩踏一下跳板会发生什么？没错，跳板和运动员就会上下颤悠地振动起来，持续较长一段时间，我们把这种振动叫做自由振动，自由振动就是系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的恢复力自由地振动。我们平常见到的单摆也是一种自由振动系统。最具代表性的自由振动是宝宝们中学学到的弹簧振子的振动，就是一个质量块系在弹簧的一端，弹簧另一端被固定，这样就构成了弹簧振子系统，当初始挤压或拉伸弹簧后，系统就会发生自由振动。自由振动的特性（频率）只决定于系统本身的物理特性（质量m，刚度k，摆长L等）。除了自由振动和受迫振动之外，还有一种给点阳光接就灿烂的系统，具有某些特殊的反馈特性，即使是微小的扰动就会产生持续稳定的振动，我们把这种振动叫做自激振动，宝宝们经常遇到开会时如果麦克风和喇叭调试不合适就会产生一种特别刺耳的声音，这就是自激振动引起的。

振动的分类方法很多，除了以上分类方法，还可以按周期特性分为周期振动和非周期振动；按输出特性分为简谐振动、非简谐振动和随机振动；按振动系统的结构参数特性分为线性振动和非线性振动；按自由度数目分为单自由度振动和多自由度振动；按振动位移特征分为直线振动、扭转振动和摆振……这些分类方法老师在后面的介绍中用到什么再说什么吧，免得说多了宝宝们蒙圈。

接下来老师就说说振动的机理。对于上述第一种受迫振动的机理非常简单，根据牛顿第二定律F=ma，如果其激振力F按正弦规律周期性变化，那么加速度a就是按正弦变化的，将a积分，就是速度，速度再积分，就是位移，积分后的速度和位移也是按正弦规律变化，这就形成了振动。振动的频率取决于激振力的频率，振动的幅值即取决于激振力的大小，还取决于手机的质量。值得一提的是，这种振动系统振动体只是一个有质量的手机，也就是只存在一种储能方式，当手臂摇动时，相当于对振动体施加了一个周期性的激振力，这个激振力对系统做的功只能转化成手机的动能，一旦手臂停止摇动，那么手机也就停止了振动，不会产生持续的自由振动。

我们重点说说第二种——自由振动，之所以形成自由振动，是因为系统中存在着两个储能环节，这两个储能环节存储和释放能量的节拍不同（即两个储能环节储、放能量存在着相位差），当一个储能环节释放能量的同时另外一个储能环节就存储能量。宝宝们都知道，所谓能量就是一种做功的本领，当一个物体储存能量后，就会产生一种想释放这种能量的趋势，我们将其称为“势”，所谓蓄势待发就是这个意思。我们以最典型的弹簧振子为例，由于弹簧具有弹性，所以它能够储存弹性势能，振子具有质量，当他运动时，也能够储存动能，当我们初始压缩或拉伸弹簧时，就给弹簧储存了弹性势能，这种势能的存在，使弹簧产生了回到平衡位置的恢复力，在返回平衡位置的过程中势能得以释放，而动能却逐步积蓄，当达到平衡位置，势能全部释放完毕，动能却达到最大，在惯性的作用下，振子通过平衡位置，继续向另一侧运动，动能得以释放，势能又逐步积蓄，直至动能全部释放完毕，势能再次达到最大，振子到达另一测最大位移位置，开始反方向重复上述过程。如此反复便形成自由振动。由此可见系统产生自由振动的必要条件是系统中至少要有两个或两个以上的储能环节，相互充放能量才能产生自由振动，之所以说它是必要条件，是因为只有这个条件还不一定能产生自由振动，比如，如果系统中还存在着阻尼，且阻尼足够大时，在第一次返回平衡位置过程中就把系统储存的所有能量全部消耗在阻尼环节了，这样系统仍然不能产生自由振动，对此，老师还会在后边的讲解中用数学的方法定量描述。

以上是用物理的方法定性地解释了自由振动的机理，要想定量，需要用数学的方法来解释。我们仍以弹簧振子系统为例。在这个系统中，仅用一个坐标系就可以完整描述振动的所有特性，我们称之为单自由度振动。分析振子在运动过程中的受力。设振子的位移为x，一是会受到弹簧弹力Fk=-kx，其中k为弹性系数；二是如果系统有阻尼的话，还会受到阻尼力Ff=-cx'，其中c为粘性阻尼系数；三是如果外界对振子施加激振的话还会受到激振力F（t）的作用，设F（t）=F0sinωt。如果粘性阻尼系数c和弹性系数k均为常数（严格讲是与位移x及其各阶导数无关）时，我们称之为线性振动系统。根据牛顿第二定律，

∑F=F0sinωt－cx'－kx=mx"

整理一下就得到以下弹簧振子系统完整的运动方程：

mx"+cx'+kx=F0sinωt ①

显然这是一个二阶非齐次常系数微分方程。我们分以下几种情况分析。

当激振力为0时，方程右边为0，即：

mx"+cx'+kx=0 ②

这就是单自由度有阻尼的自由振动方程，它是一个二阶齐次常系数微分方程。

如果阻尼系数c也为0，即没有阻尼存在，则方程就会变为：

mx"+kx=0 ③

这就是单自由度无阻尼的自由振动方程，它仍然是一个二阶齐次常系数微分方程。

根据高等数学的理论，可以求解上述微分方程。我们从最简单的第③个方程开始，先把方程③两边除以m得：

x"+(k/m)x=0 ④

令k/m=ωn²，则方程④的特征方程为：

s²+ωn²=0，特征方程的根为s=±iωn，其中i为虚数单位根号-1，那么微分方程的通解为：

x=C1•e^(iωn•t)+C2•e^(-iωn•t)

其中C1、C2为常数，由初始状态决定。根据欧拉公式e^ix=cosx+i•sinx，得微分方程的解为

x=C1(cosωn•t+i•sinωn•t)+C2(cosωn•t－i•sinωn•t)

=(C1+C2)cosωn•t+i•(C1－C2)sinωn•t=D1cosωn•t+D2sinωn•t

=A(sinωn•t＋φ)

其中D1=C1+C2、D2=i•(C1－C2)由初始状态决定；A=(D1²+D2²)^½；φ=arctan(D1/D2)；ωn=(k/m)^½。

可见单自由度无阻尼自由振动是一种位移幅值不衰减、随时间成正弦变化的运动，即简谐振动。ωn为振动角频率，只取决于系统的固有参数，因此也称其为固有角频率。将位移求导就是振动速度，再求导就是振动加速度。

哈哈，看完以上的推导，估计宝宝们都晕菜了吧？刚才说啦，这仅仅是最简单的一个微分方程。没办法，谁让宝宝们上学不好好学习呢！解算完无阻尼自由振动，接下来我们就解算第②个微分方程，看看有阻尼自由振动是一个什么规律？同样将式②两端同时除以m得：

x"+(c/m)x'+(k/m)x=0

令k/m=ωn²，c/m=2n，得：

x"+2nx'+ωn²x=0

这是一个二阶齐次常系数微分方程，解算它必须首先求得其特征方程的根。其特征方程为：

s²+2ns+ωn²=0

这是一个一元二次方程。它的根就是宝宝们熟悉的那个“2a分之负b加减根号b平方减4ac”的公式，即：

s1、s2=-n±i(ωn²－n²)^½

令(ωn²－n²)^½=ωr，于是微分方程②的通解为：

x＝C1•e^(s1•t)+C2•e^(s2•t)

＝C1•e^(-n＋iωr•t)+C2•e^(-n－iωr•t)

＝e^(-nt)•〔C1•e^(iωn•t)+C2•e^(-iωn•t)〕

其中C1、C2为常数，由初始条件决定。这就是粘性阻尼下自由振动的位移。仔细观察这个式子我们会发现，系统运动状态，决定于根式(n²－ωn²)^½的值是实数还是虚数。即决定于阻尼大小，现引进一个量纲为1的量ξ，表示阻尼的状态，令ξ＝n/ωn叫做阻尼比。

当阻尼较小即n＜ωn或ξ＜1时，特征根s是一对共轭复数，则位移就是一个随时间幅值衰减的正弦函数，幅值的衰减快慢取决于阻尼系数n，随着阻尼的引入振动频率ωr也会在无阻尼固有频率ωn的基础上有所减小，阻尼越大，减小得就越多，我们称这种状态为欠阻尼状态。

当阻尼足够大时，即n＞ωn或ξ＞1时，特征根就是两个负实数，整理位移表达式就会发现，这种情况下位移就是一个从初始状态成指数衰减到平衡位置的函数，不会穿越平衡位置，这就是上面所说的，当阻尼足够大时形不成自由振动。我们称这种状态为过阻尼状态。

当n＝ωn即ξ＝1时，此时特征方程有两个相等的负实数重根，微分方程的解为：x＝e^(-nt)•(C1+C2t)根据初始条件，这种情况可能从初始位置逐步蠕动到平衡位置，也可能穿越一次平衡位置位置再返回到平衡位置，取决于初始速度，同样形成不了振动，我们称这种状态为临界阻尼状态。各种阻尼状态的振动情况如下图。

接下来再说说方程式①，看看在激振力持续作用下的单自由度线性系统振动的规律，由数学知识可知，微分方程①是一个非齐次二阶线性微分方程，它的解是其对应的齐次微分方程的通解加一个本身非齐次微分方程的特解。老师知道宝宝们的数学差，就不详细推导了，只说结果。在简谐激振力的作用下，单自由度线性系统的振动包括三个部分，一是初始条件下的自由振动；二是由简谐激振力作用下产生的受迫振动；三是不论初始条件如何，都伴随受迫振动而产生的伴生自由振动。其中第一部分和第三部分会因为阻尼的存在只存在于刚开始的过渡过程中，随着时间的推移，这两部分会逐步衰减，最终只剩下第二部分——稳定的受迫振动。需要重点强调的是，在这种受迫振动和伴生自由振动有以下特点：一是当激振频率远离固有频率时，振动幅值较小；随着激振频率接近固有频率，振动幅值会逐步增大；当激振频率与固有频率很接近时，振幅会呈现周期性增大又周期性减小的节拍式振动，我们称这种现象为拍振现象；当激振频率等于固有频率时，振幅会急剧增大，如果没有阻尼，振幅会趋于无穷大，我们称这种现象为共振现象。共振对系统和设备的危害巨大，宝宝们都听说过在桥上齐步走振塌桥梁的故事吧，那就是共振的威力，因此除非是利用共振，其余在机械设计中共振都是要尽量避免的。二是振动的幅值与激振力的幅值成正比，除此之外，振动幅值，还与阻尼以及激振频率与固有频率之比（频率比）有关。当激振频率远离固有频率时，阻尼对振幅的影响较小，当激振频率与固有频率接近时，阻尼会极大地减小振幅，因此加大阻尼会减小共振危害的重要手段。

前面讲的都是单自由度系统的振动机理，在许多情况下振动系统不能仅用一个坐标系来描述，必须采用多个独立的坐标系才能完整地描述振动状态和规律，我们称之为多自由度振动系统。比如，宝宝们如果再213一点，坐在摇椅或躺在沙发床上摇艳遇就可以看做是一个二自由度系统；老师所从事的船舶行业经常采用双层隔振技术来抑制振动，也可看做一个二自由度振动系统。类似的系统还有很多，其实，对于一个连续的弹性体，在研究其振动时通常会将其划分为许多小网格，将每个小网格的质量集中到一个质点上，每个小网格的质点之间用一个等效的小弹簧来连接固定，这样就组成了一个多自由度的系统。我们把那些小网格称为“微元”，这种把一个连续体离散成小“微元”进行分析的方法就是宝宝们常说的“有限元”方法。

对于多自由度系统，我们可以对每个小微元列出一个微分方程，这样有n个自由度就可以列出n个独立的微分方程，组成一个微分方程组，在这个微分方程组中的每个方程的系数会形成质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。根据线性代数的相关知识，解算这个微分方程组需要先令其系数组成的矩阵对应的行列式等于0，列出其特征方程，这是一个n次代数方程，会解出n个特征方程的根，这n个根说明系统有n个固有频率，再根据高等数学知识求出方程组的通解。考虑到说太多的数学玩意儿宝宝们又会晕菜，老师还是只说结果。对多自由度系统的n个固有频率，都有一个共同的特点，就是对应于每个固有频率，各点的稳态振幅之比是一个不随时间变化的常数，称之为模态，宝宝们平时说的模态计算就是指计算这一系列的比例常数，从而得到系统在每个固有频率下的振动形态（主振形）。对应固有频率最低的主振形叫做一阶主振形，对应固有频率从低到高排列的主振形依次为二阶、三阶……主振形。用解析法来解算这样一个微分方程组工作量是极其巨大的，以至于无法用解析法来解算，只能通过有限元的方法进行数值计算来得到需要的结果。

以上是从理论上解释和推导了振动的机理，进行这些振动机理分析的目的是为了掌握和了解振动的规律，从而控制和抑制有害的振动，利用有利的振动。从以上分析可见，振动的大小取决于激振力和振动系统两个方面。每一种振动源都有其特定的频率，每一种振动系统又都有一系列特定的固有频率。激振频率和系统的固有频率，就像我们的指纹一样，都是激振源和系统的固有参数。要想控制和抑制有害的振动，就必须掌握各种振动源的激振频率和系统固有频率的特点，从振源和系统两个方面入手，来控制和抑制振动。控制和抑制振动的方法有很多，包括消振、隔振、吸振、阻尼减振等，消振是从振源入手，减小激振力的大小，是一种釜底抽薪的方法；隔振是将振源与系统隔离，以减小系统的响应；吸振是在原来系统上附加一些特定的子系统，以吸收振动能量；阻尼减振是在系统中增加一些阻尼元件和装置来消耗系统的振动能量。

关于振动的问题，里面的学问大了去了，老师不可能用一期瞎想说清楚所有的振动问题。仅是减振的问题，就足以写本书。宝宝们大多是搞电机的，关于电机的激振源就有很多，如转子动平衡不好，那么每转一圈就会激振一次，从而产生频率为一阶机械频率的激振；如果气隙偏心，则单边磁拉力会产生二倍机械频率的激振力；不同极数的电机会产生与极数相关倍机械频率的激振力；还有齿槽的影响、谐波的影响、轴承的故障等等，都会产生各种特定频率的激振力。这里老师就不详细分析了，在以后高年级的电机设计宝典中再说。相信宝宝们看到这儿也累了，老师就更累了，码字码得眼睛都花了，不得补偿一下老师？！聪明的宝宝们懂的！