科学瞎想系列之七十三 电机的体积与基本参数的关系

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本瞎想可算作电机设计宝典（大学版）前的一次高考辅导内容。 搞电机的宝宝都知道，电机的有效体积与电机的转矩成正比，即： (P/n)/（D²L）=K•α′•Kwm•Kdp•A•Bδ=C 式中：P为电机的计算功率；n为转速；D为电枢直径；L为铁心有效长度；K为常数；α′为计算极弧系数；Kwm为磁密波形系数；Kdp为绕组系数；A为线负荷（电负荷）；Bδ为磁负荷；C为利用系数（基本可看做常数）。 因此只要知道了电机功率和转速就能大概估算出电机的有效体积。这个公式任何一本电机设计书上都有描述和推导，但老师认为关于这个公式的推导教科书上讲的过于复杂，以至于宝宝们不大容易理解，今天老师就用自己总结的一套非常简便易懂的推导方法，给宝宝们推导一把，也顺便再给基础差的宝宝们科普点从受精卵到中学的电机知识。

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1 任意电机的物理模型。电机就是一个机电能量转换装置，电机通常会有一个机械端口和一个电气端口，分别对外进行机械能和电能交换，机械能和电能转换的枢纽叫做电枢，我们可以把电枢看做是一个直径为D、长度为L的圆柱，其表面上均匀地布有导体，把这个圆柱电枢置于径向的磁场B中，这就是电机的通用物理模型（如下图），如果往这个电机的导体中通电流它就会旋转，这就是电动机；如果用原动机拖着它旋转它就发电。这个电机模型所转换的机械功率Pm=T•Ω，其中T为电磁转矩，Ω为旋转角速度；转换的电功率Pe=E•I。E为感应电势，I为电枢电流。

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2 机电能量转换的原理。作为机电能量转换的装置，就是把输入的机械能转换成等量的电能，或反过来把电能转换成等量的机械能，也就是说无论是机转电还是电转机，任意时刻都要Pm=Pe。下面老师就给宝宝们推导一下，看看是不是这么回事。 从机械端口看： 机械功率Pm=T•Ω 而电磁转矩T=F•R 切向力F=BIL 因此Pm=BILRΩ 从电气端口看： 电功率Pe=E•I 电动势E=BLV 电枢表面线速度V=R•Ω 因此Pe=BILRΩ 以上推导可见，Pm=Pe。这就意味着无论是电动机还是发电机，在运行过程中始终保持机械能和电能的守恒，这就是机电能量转换的本质。

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3 电机体积与基本参数的关系。接下来就言归正传，看老师如何用宝宝们能看得懂的简单方法来推导前面那个关系式。

如前所述， Pm=Pe=P=BILRΩ 我们引入电负荷A，A为单位电枢圆周长度上的电流，即：

A=I/（π•D）

则电流：I=A•（π•D）；再考虑到半径R=D/2；机械角速度Ω=2πn/60，带入上式得：

P=BILRΩ =B•A•πD•L•2πn•D/（2×60） =K•A•B•D²•L•n 这里把所有的常数（2、60、π等）全部归结到常数K中。 以上推导可见： (P/n)/（D²L）=K•A•B 与文章开头那个公式比较可见只是少了几个系数α′、Kwm、Kdp，这里解释一下，老师这里推导所用的物理模型是一个理想的模型，主要假设了气隙磁场为匀强磁场、导体按单根独立且均匀分布。实际电机中，如果气隙磁场不是匀强磁场，而是按正弦或其它波形分布，则要根据磁场分布波形，引进一个系数（即打个折扣），α′和Kwm就是考虑这个因素引入的折扣系数，如果气隙磁场按正弦分布，则α′=0.637，Kwm=1.11；另外，实际电机中通常是把各导体串联成线圈，而且导体是分布在槽里的，考虑到线圈的跨距及分布情况，也会引入一个打折的系数，即绕组系数Kdp，关于这些系数的引入推导起来比较复杂，老师怕宝宝们又晕菜就不推导了。引入这些系数后，就和教科书上完全一模一样了。怎么样？这种推导方法是不是更容易理解一些？