干货|用回溯法(backtracking algorithm)求解N皇后问题(N-Queens puzzle)，附代码及详细注释

谈天说地吹个水

哈喽哈喽 ~~ 各位小伙伴好久不见的啦，也不知道大家有没有想我了。如果没有，那我待会再来问一下好了。

嘛，这个时候。想必各位小伙伴早已忘记被考试周支配的恐惧，早就卷好铺盖屁颠屁颠跑回家探(tang)亲(shi)了。小编在这里本着“一天不装逼，浑身难受”的原则。赶在过年前给大家再送上一点干货吧

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(敲黑板~敲黑板)

接下来我们就要说重点啦。

今天给大家带来嘛好玩的东西呢？

唔……呃……

那自然是大名鼎鼎的

N-皇后问题(N-Queens puzzle)

下面跟随小编的脚步

一起踏入学习的殿堂吧 啦啦啦啦啦啦

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内容提要：

回溯算法

定义

基本思想

深度优先搜索

解决问题的步骤

解空间和解空间树

算法框架

皇后问题解决

算法伪代码描述

图解问题过程

coding time

01. 什么是N皇后问题？

什么是N皇后？能吃吗？

哎……不知道嘛？没关系，让小编慢慢道来。说到这个N-皇后问题，就不得不先提一下这个历史上著名的8皇后问题啦。

八皇后问题，是一个古老而著名的问题.该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法?

那么，我们将8皇后问题推广一下，就可以得到我们的N皇后问题了。

N皇后问题是一个经典的问题，在一个N*N的棋盘上放置N个皇后，使其不能互相攻击。(同一行、同一列、同一斜线上的皇后都会自动攻击)那么问，有多少种摆法？

02. 回溯算法

想必各位小伙伴在看完上面的问题以后，写代码的双手早已按耐不住并跃跃欲试了。呃……各位优秀的大学生们请先停下来，装逼的机会多得是……

俗话说那啥工欲善其事必先利其器。N皇后问题其实就是回溯算法中的一个典型应用。为此，在这里小编有必要给大家科普一下回溯算法，顺便感受一下回溯大法好究竟是有多么的给力。

2.1. 回溯算法的定义

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。(参考自百科)

2.2. 回溯算法的基本思想

回溯算法的基本思想是：

从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根节点出发深度探索解空间树。当探索到某一节点时，要先判断该节点是否包含问题的解，如果包含，就从该节点出发继续探索下去，如果该节点不包含问题的解，则逐层向其祖先节点回溯。

值得注意的两点

* 若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

* 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

2.3. 什么是深度优先搜索？

深度优先搜索(DFS即Depth First Search)其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次。

2.4. 回溯法解决问题的一般步骤

1) 针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。

2) 确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。

3) 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始节点（根节点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始节点就成为一个活节点，同时也成为当前的扩展节点。在当前的扩展节点处，搜索向纵深方向移至一个新节点。这个新节点就成为一个新的活节点，并成为当前扩展节点。如果在当前的扩展节点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展节点就成为死节点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活节点处，并使这个活节点成为当前的扩展节点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活节点时为止。

在这里还有必要为大家科普一下解空间和解空间树的知识。

2.5. 解空间和解空间树

1) 解空间

一个复杂问题的解决往往由多部分构成，那么，一个大的解决方案就可以看成是由若干个小的决策组成。很多时候它们构成一个决策序列。解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题的解空间。解空间中满足约束条件的决策序列称为可行解。一般说来，解任何问题都有一个目标，在约束条件下使目标值达到最大（或最小）的可行解称为该问题的最优解。在解空间中，前k项决策已经取定的所有决策序列之集，称为k定子解空间。0定子解空间即是该问题的解空间。这个空间必须至少包含一个解（可能是最优的）。

2) 解空间树

因为回溯方法的基本思想是通过搜索解空间来找到问题所要求的解，所以如何组织解空间的结构会直接影响对问题的求解效率。一般地，我们可以用一棵树来描述解空间，并称之为解空间树。

2.6. 算法框架

1) 递归的算法框架

2) 非递归的算法框架

03. N皇后问题的solve

相信看完上面一大串的回溯算法。各位都已经被科普得想原地爆炸了。好啦，接下来我们就看看如何用回溯的思想解决这个N皇后问题。

3.1算法伪代码描述

下面是算法的高级伪码描述，这里用一个N*N的矩阵来存储棋盘：

1) 算法开始, 清空棋盘，当前行设为第一行，当前列设为第一列

2) 在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后)，若不满足，跳到第4步

3) 在当前位置上满足条件的情形：

a)在当前位置放一个皇后，若当前行是最后一行，记录一个解；

b)若当前行不是最后一行，当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置；

c)若当前行是最后一行，当前列不是最后一列，当前列设为下一列；

d)若当前行是最后一行，当前列是最后一列，回溯，即清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置。

e)以上返回到第2步。

4) 在当前位置上不满足条件的情形：

a)若当前列不是最后一列，当前列设为下一列，返回到第2步;

b)若当前列是最后一列了，回溯，即，若当前行已经是第一行了，算法退出，否则，清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置，返回到第2步;

3.2图解问题过程

结合图片，相信大家已经够明白了。

3.3 coding time

老铁们，终于到了踏马的激动人心的写代码时间了。

我们之前说过N皇后问题是回溯算法的经典应用。因此我们可以使用回溯法来解决该问题，具体实现也有两个途径，递归和非递归。

3.3.1递归法

其实递归法算是比较简单的了。我们使用一个一维数组来存储棋盘。

具体细节如下：

把棋盘存储为一个一维数组a[N]，数组中第i个元素的值代表第i行的皇后位置。

在判断是否冲突时也很简单：

1)首先每行只有一个皇后，且在数组中只占据一个元素的位置，行冲突就不存在了。

2) 其次是列冲突，判断一下是否有a[i]与当前要放置皇后的列j相等即可。

3)至于斜线冲突，通过观察可以发现所有在斜线上冲突的皇后的位置都有规律。即它们所在的行列互减的绝对值相等，即| row – i | = | col – a[i] | 。

代码如下：标注得够明白的啦。如果还看不懂。请自费买豆腐吧

【代码下载移步原文链接】

3.3.2迭代法

为什么还要迭代呢？因为递归效率太低了咯……

具体思路：

首先对N行中的每一行进行探测，查找该行中可以放皇后的位置。具体怎么做呢？

1)首先对该行的逐列进行探测，看是否可以放置皇后，如果可以，则在该列放置一个皇后，然后继续探测下一行的皇后位置。

2)如果已经探测完所有的列都没有找到可以放置皇后的列，这时候就应该回溯了，把上一行皇后的位置往后移一列。

3)如果上一行皇后移动后也找不到位置，则继续回溯直至某一行找到皇后的位置或回溯到第一行，如果第一行皇后也无法找到可以放置皇后的位置，则说明已经找到所有的解，程序终止。

4)如果该行已经是最后一行，则探测完该行后，如果找到放置皇后的位置，则说明找到一个结果，打印出来。

5)但是此时并不能在此处结束程序，因为我们要找的是所有N皇后问题所有的解，此时应该清除该行的皇后，从当前放置皇后列数的下一列继续探测。

由此可见，非递归方法的一个重要问题时何时回溯及如何回溯的问题。

好啦！跟随小编的脚步一起来看看代码吧。【代码下载移步原文链接】

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哇，终于写完了。这次的信息量还真有点大呢。大家好好学习好好看哈~~~争取早日修成正果，装的一手好逼。噗~

PS：部分资料参考自网络。

-The End-

文案 / 邓发珩（大一）

排版 / 邓发珩（大一）

指导老师 / 秦时明岳

如对文中内容有疑问，欢迎交流。

邓发珩（华中科技大学管理学院本科一年级、2638512393@qq.com、个人公众号：程序猿声）