机器学习实战 - 读书笔记(14) - 利用SVD简化数据

前言

最近在看Peter Harrington写的“机器学习实战”，这是我的学习心得，这次是第14章 - 利用SVD简化数据。 这里介绍，机器学习中的降维技术，可简化样品数据。

基本概念

• 降维（dimensionality reduction）。 如果样本数据的特征维度很大，会使得难以分析和理解。我们可以通过降维技术减少维度。 降维技术并不是将影响少的特征去掉，而是将样本数据集转换成一个低维度的数据集。 降维技术的用途
• 使得数据集更易使用；
• 降低很多算法的计算开销；
• 去除噪声；
• 使得结果易懂。

问题：如何向用户推荐他喜欢的商品

推荐系统的应用场景

一个系统里有很多商品，也有用户信息，以及用户对商品的打分情况。例如：

表1

这些数据有以下特点：

1. 商品很多
2. 用户很多，一般情况下比商品多。
3. 用户不会对所有商品打分，没有打分的记为0，打分的记为1~5。

解决问题的思路

如果要对一个用户U推荐一个U没有买过的商品：

对于当前用户U的每个没有买过的商品A：
    对于系统中每个商品B，并且U给B打过分：
        根据A和B的打分数据，获取一个降维数据集。*1
        在降维数据集上，计算A和B的相似度Similarity。*2
        Rating = U给B的打分
        TotalSimilarity += Similarity
        TotalRating += Similarity * Rating
    A.Rating = TotalRating / TotalSimilarity
按照A.Rating从大到小排序。
打分高的商品作为推荐商品。

注：比如电影，一般用户不会看已经看过的电影，所以"没有买过的商品"在这是有特殊的意义。 也可以将这个条件根据实际的情况换成其它过滤条件。

根据上面的思路，我们还需要解决2个关键问题：

1. 如何降维。
2. 如何计算两个矢量（也可以看成2个点）的相似度。

如何计算2个矢量的相似度(Similarity)

先解决简单的问题。相似度是一个0到1的值。可以选择下面的方法来计算。

方法1：计算欧氏距离相似度。

两个点离得越近，越相似。

求两个点的距离D
Similarity = 1 / (1 + D)

方法2：计算皮尔逊相关系数（Pearson correlation）的相似度。

统计方法中求两组数据的相关度，

这两个点的correlationValue
Similarity = correlationValue / 2 + 0.5

方法3：计算角度的相似度。

计算两个点的角度，求余弦值（[-1, 1]）, 角度越接近0，越相似。

求两个点的角度的余弦值cosineValue.
Similarity = cosineValue / 2 + 0.5

如何降维

方法1： 只看对商品A和商品B都有打分的数据。

对于商品A和商品B，可以看作为两列数据，我们在这两列中，找出两个数据都不为0的行。 比如：表1中商品1和商品2，只要看4，5两行数据就可以。

• 这个方法的问题是
  • 每次计算都需要寻找相关数据。对性能的优化不够。

方法2： 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

矩阵Data_{{m} \times {n}}，假设m < n。 奇异性分解可以将一个矩阵Data_{{m} \times {n}}分解成3个矩阵U_{{m} \times {m}}, \Sigma_{{m} \times {n}}, V^T_{{n} \times {n}}。 U,V^T都是单式矩阵（unitary matrix）,\Sigma是一个对角矩阵（rectangular diagonal matrix），也就是说只有在对角线上才有值。 比如： \begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} 这里主要介绍\Sigma，我们只关心它的对角线上的数据。 首先这个对角线上的数据最多有m个（假设m < n）。 而且这个数组是按照从大到小的顺序排列的。 \Sigma的对角线上的数据被称为奇异数（Singular Values）。 奇异数的一个特点是可以用来计算一个降维的SmallData_{{m} \times {k} (k < m)}来代替原数据集Data_{{m} \times {n}}。 一个计算k的方法是：

在\Sigma中找到前k的数据，使得其\textstyle \sum_{i=1}^k s_i^2 刚好大于 0.9 \times \textstyle \sum_{i=1}^m s_i^2

这时: SmallData_{{m} \times {k}} = Data^T U_{{m} \times {k}} \Sigma_{{k} \times {k}}^I \\ where \\ \qquad k < m \\ \qquad W^I : 矩阵W的逆矩阵

总结

• 我们可以使用SmallData_{{m} \times {k}}作为降维后的数据集。
• SVD降维技术的应用可以是离线的。（也就是说可以事先做好。）

将SVD降维技术应用到数据近似压缩上

求近似数据集： NewData_{{m} \times {n}} = U_{{m} \times {k}} \Sigma_{{k} \times {k}} V^T_{{k} \times {n}} \\ where \\ \qquad NewData_{{m} \times {n}} \approx Data_{{m} \times {n}} \\ \qquad k < m

由于NewData_{{m} \times {n}}是计算出来的， 所以可以只保存U_{{m} \times {k}}, \Sigma_{{k} \times {k}}的奇异值, V^T_{{k} \times {n}}做为压缩数据。

核心公式

• 相似度计算 - 欧氏距离

from numpy import *
def distanceSimilarity(A, B):
    return 1.0 / (1.0 + linalg.norm(A - B))

• 相似度计算 - 皮尔逊相关系数（Pearson correlation）

from numpy import *
def correlationSimilarity(A, B):
    if len(A) < 3 : return 1.0
    return 0.5 + 0.5 * corrcoef(A, B, rowvar = 0)[0][1]

• 相似度计算 - 余弦相似度

参考

• Machine Learning in Action by Peter Harrington
• Correlation and dependence
• Singular value decomposition