Modern Algebra 读书笔记

Modern Algebra 读书笔记

Introduction

本文是Introduction to Modern Algebra(David Joyce, Clark University)的读书笔记。

符号(Notation)

术语

  • 特征元素(identity element) 别名:neutral element. For a binary operation is an element in the set that doesn't change the value of other elements when combined with then under the operation. 0 is the identity element for addition. 1 is the identity element for multiplication.
  • Inverse elements For addition, -x is the inverse element of x, since -x + x = 0. For multiplication, 1/x is the inverse element of x, since 1/x * x = 1.
  • Algebraic structure an algebraic structure is a set (called carrier set or underlying set) with one or more finitary operations defined on it that satisfies a list of axioms.

代数结构的比较概念

  • 态射(morphism) 记做:f : A \to B 。可以认为是两个域(domain)或集合中元素的映射关系。 这个词太哲学化,在数学上的含义,可以简单地理解为映射函数。有人用 morphism = arrow + function。 在抽象代数中讨论了一个集合间映射函数的关系。
  • 同构(isomorphisms) 代数结构A和B相同,除了它们的元素有不同的名字,可以认为这两个代数结构同构,记做:$f : A \cong B $
  • 同态(homomorphisms) 代数结构A和B不同,但是存在一种元素的映射关系,可以认为这两个代数结构同态,记做:f : A \to B
  • 单同态(monomorphisms) 当同态函数f : A \to B 是一个单射(injective)函数,称之为一个单同态。
  • 满同态(epimorphisms) 当同态函数f : A \to B 是一个满射(surjective)函数,称之为一个满同态。
  • 自同态(endomorphisms) 如果一个代数结构A和自己同态,f : A \to A ,称之为自同态。
  • 自同构,自守(automorphisms) 如果一个代数结构A和自己同构,f : A \cong A ,称之为自同构。
  • 单射(injection(one-to-one)) 值域(codomain)中的每个元素最多只有一个主域(domain)元素与之对应的函
  • 满射(surjection(onto)) 值域(codomain)中的每个元素最少有一个主域(domain)元素与之对应的函数。
  • 双射(bijection(one-to-one + onto)) 值域(codomain)中的每个元素都有一个(且只有一个)主域(domain)元素与之对应的函数。

代数结构 - 域(Field)

  • 域(Field) 一个域由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质:
    • 有二元操作:addition, multiplication。(具有封闭性。)
    • addition 具有 commutativity 和 associativity。
    • multiplication 具有 commutativity 和 associativity。
    • multiplication 在 addition 上具有 distributivity。
    • addition 的 identity element是0,每个元素都有addition的反元素。
    • multiplication 的 identity element是1,每个元素(0除外)都有multiplication的反元素。
    • 0 \neq 1 非正式的说,域具有加减乘除四个操作。
  • Subtraction The different of tow elements x and y is defined as x - y = x + (-y) .
  • Division The quotient of tow elements x and a nonzero element y is defined as xy^{-1} = x / y .
  • 同余模于n(congruence modulo n) 两个整数 x 和 y 同余模于n,就是说n可以被x-y的差整除。记做:x \equiv y (mod n).
  • 循环环Z_n (The cyclic ring Z_n) Z_n is a set of equivalence classes of integers under the equivalence relation which is congruence modulo n. 有两种理解方式: A: 认为Z_n的元素是 0 到 n-1,任何操作的结果,需要对n求余,匹配到0到n-1这个范围。 Z_6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

B: 每个整数通过求余数,被重命名为一个新的整数。 Z_n也可以表示为:Z_6 = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

  • 环的特征值(The characteristic of a ring) 如果1的某个倍数是0,这个最小倍数就是这个环的特征值。如果在一个环中,1的倍数总不是0,则这个环的特征值为0。
  • 定理: The cyclic ring Z_n is a field if and only if n is a prime. 当且仅当循环环的特征值是一个质数时,这个循环环是一个域。
  • 代数数(algebraic numbers) 如果一个数是一个有理数系数的多项式的解,则这个数是代数数。
  • 超越数(transcendental numbers) 如果一个数不是任何有理数系数的多项式的解,则这个数是超越数。
  • 代数式域扩张(algebraic field extensions) 如果x满足多项式f(x) = 0,多项式f的系数在域F,则x是在F的代数。 所有的x组成域F',被称为F的域扩张。 域扩张仍是一个域。
  • 超越式域扩张(transcendental field extensions) 如果F的域扩张不是代数式的,则这个域扩张为超越式域扩张。
  • 共轭(conjugation) 符号:\overline{C} Complex conjugation: \overline{x + yi} = x - yi \overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b} \overline{ab} = \overline{a} \overline{b}
  • 基(norm) |z|^2 = z \overline{z}
  • A matrix representation of C \begin{bmatrix} x & y \\ -y & x \end{bmatrix} \ where \ x, y \in R
  • 有序域(ordered fields) An ordered field consists of a field F along with a subset P whose elements are called positive such that
  1. F is partitioned into three parts: P, {0} and N where N = {x \in F | - x \in P} the elements of N are called negative;
  2. the sum of tow positive elements is positive;
  3. the product of two positive elements is positive.

环(Ring)

  • 环(Ring) 一个环由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质:
    • 有二元操作:addition, multiplication。(具有封闭性。)
    • addition 具有 commutativity 和 associativity。
    • multiplication 具有 associativity。
    • multiplication 在 addition 上具有 distributivity。
    • addition 的 identity element是0,每个元素都有addition的反元素。
    • multiplication 的 identity element是1。 非正式的说,环具有加减乘三个操作。
  • 交换性环(commutative ring) 如果一个环的乘法具有 commutativity,这个环是交换性环(commutative ring)。
  • 幂等(Idempotent) 当一个元素e,有e^2 = e,则这个元素是幂等的。
  • 0因子(zero-divisor) 在一个具有交换性的环中,对于一个非0元素x,如果存在一个非0元素y,有xy = 0,则元素x为0因子
  • 整环(Integral Domain) 整环是一个具有交换性的环D,在环D中,0 \neq 1,满足条件: 1:没有0因子(zero-divisors), 2:或者满足消除律。 条件1和2实际上是等价的。 对于Z[n],就是n为质数的环。 定理(Wedderburn):有限元素的整环是一个域。(因为任何非0元素都有乘法反元素)
  • 高斯整数(Gaussian Integers), Z[i]

x + yi \text{ where } x, y \in \mathbb{Z}是一个整环(Integral Domain)。

  • 艾森斯坦整数(Eisenstein Integers), Z[i] x + y \omega \text{ where } \omega = \frac{1}{2} ( -1 + i \sqrt{3}) = e^{2\pi i/3}是一个整环(Integral Domain)。

布尔环

将逻辑理论带入代数环理论中: 1 = true \\ 0 = false \\ xy = P \land Q \\ x + y = P \oplus Q \\ x + y + xy = P \lor Q \\ 1 + x = \lnot P

  • Boolean Rings An element e of a ring is said to be idempotent which \(e^2 = e\). If every element in a ring is idempotent, then the ring is called a Boolean ring. 我的理解是:布尔环的每个元素的值要么是0(false),要么是1(true)。因为只有0和1的平方才等于自身(幂等)。 当然,在一个布尔环中允许0和1以外的元素存在,这些元素对应逻辑理论中的命题(proposition),命题常量,或者也可以是谓词(predicate)等。

核(Kernels),理想(ideal)和商环(quotient rings)

  • 环同态的核(Kernels of ring homomorphisms) 在一个同态映射中,值域(codomain)是0的域(domain)元素集合。 Let f : R \to S be a ring homomorphism. Those elements of R that are sent to 0 in S form the kernel of f. Ker \ f = f^{-1}(0) = {x \in R | f(x) = 0}
  • 环的理想(ideal of a ring) 一个环R的理想I: 1) includes 0 2) 对加法具有封闭性。 3) 与R中任何元素的乘积结果具有在理想I中的封闭性。 0 \in I, I + I \subseteq I, IR \subseteq I, RI \subseteq I {0} is always an ideal in a ring R. It's called the trivial ideal. A proper ideal is an ideal I \neq R
  • Principle ideals $$

(a) = {xa | x \in R} \ where \text{a is an element of a commutative ring R.} $$

{0} = (0) R = (1)

  • 商环(Quotient rings R/\equiv, R/I)
    • 环的的同余(congruence \(\equiv\))关系。 The congruence on a ring R is an equivalence relation such that for all x, x', y, y' \in R, x \equiv x' \ and \ y \equiv y' \ imply \ x + y \equiv x' + y' \ and \ xy \equiv x'y' x and x' is called congruence classes.
    • 定理:理想的同余模(Congruence modulo an ideal) Let I be an ideal of a ring R, A congruence, call congruence module I, is defined by x \equiv y (mod I) if and only if x - y \in I THe quotient ring, R/\equiv, is denoted R/I.

群(Group)

  • 群(Group) 一个群由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质:
    • 有一个二元操作:addition or multiplication。(具有封闭性。)
    • the binary operation 具有 associativity。
    • the binary operation 的 identity element是0 or 1,
    • 每个元素都有反元素。 非正式的说,群具有加减两个操作,或者乘除两个操作。
  • 子群(subgroup) 子群H是群G的子集,并且满足:
    • 有1,
    • 乘法具有封闭性
    • 反元素具有封闭性
  • 循环群(cyclic groups and subgroups) A group or a subgroup is generated by some element a: \left \langle a \right \rangle = {a^n | n \in \mathbb{z}}
  • 阶(the order of a group) 一个群的阶就是它元素的数量,表示为|G|。 一个群元素 a 的阶是天河最小正整数n,使得a^n = 1
  • Involution An involution a is an element of a group which is its own inverse, a^{-1} = a
  • 协作集合(coset) Let H be a subgroup of G, A left coset a set of the form aH = {ah | h \in H}
  • while a right coset is of the form Ha = {ha | h \in H}.

算术概念

  • 单位根(root of unity) 一个复数,在正整数次方后的结果是1。
  • n的基本单位根(primitive nth root of unity) 对于等式z^n = 1,使z的正整数次方等于1的最小整数n,则z为n^{th} primitive root of unity。 \phi(n)的n的基本单位根的个数。
  • 分圆多项式(Cyclotomic polynomial) n的基本单位根的求解多项式。 The polynomial \Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\phi(n)}(z - z_k), where z_1, z_2, \dots, z_{\phi(n)} are the primitive n^{th} roots of unity, is called the n^{th} cyclotomic polynomial.
  • 代数数(algebraic number) 代数数是一个复数,并且是一个具有整数系数的一元多项式的根。
  • 超越数(transcendental number) 与代数数相反,超越数不会是一个具有整数系数的一元多项式的根。 几乎所有的的实数和复数都是超越数。

逻辑

  • 自反性 - Law of Reflexivity: Everything is equal to itself x = x.
  • 对称性 - Law of Symmetry If x = y, then y = x.
  • 传递性 - Law of Transitivity If x = y and y = z, then x = z
  • 命题(Proposition)
  • 谓词(Predicate) a predicate is a statement that may be true or false depending on the values of its variables. P(x) is referred to as the predicate, and x the subject of the proposition. Sometimes, P(x) is also called a propositional function

中英文对照

English

中文

addition

subtraction

multiplication

division

negation

reciprocation

倒数

power

次方

root

commutativity

交换性

associativity

结合性

distributivity

分配性

axiom

公理

theorem

定理

lemma

引理

corollary

推论

polynomial

多项式

denominator

分母

divisor

除数,因子

quotient

modulus

模数

coefficient

系数

disjoint

互斥

prime number

质数

composite number

合数

relatively prime

互质

greatest common divisor

最大公约数

least common multiple

最小公倍数

References

本文参与腾讯云自媒体分享计划,欢迎正在阅读的你也加入,一起分享。

发表于

我来说两句

0 条评论
登录 后参与评论

相关文章

来自专栏专注数据中心高性能网络技术研发

[LeetCode]Math主题系列{第7,9,13,273题}

1.内容介绍 本篇文章记录在leetcode中Math主题下面的题目和自己的思考以及优化过程,具体内容层次按照{题目,分析,初解,初解结果,优化解,优化解结果,...

3497
来自专栏逸鹏说道

码农眼中的数学之~数学基础

写在前面:文章里面的图片公式都是逆天一个个打出来画出来的,公式系列基本上都提供了源码

2047
来自专栏章鱼的慢慢技术路

牛课堂算法直播题目

2918
来自专栏大数据

概率数据结构简介

在处理大型的数据集时,我们常常进行一些简单的检查,如稀有项(Unique items)的数量、最常见的项,以及数据集中是否存在某些指定的项。通常的做法是使用某种...

5246
来自专栏CDA数据分析师

开工大吉:几个让你月薪3万+的excel神技能

来源:运营圈信息流广告 职场中经常会用到哪些函数? IF函数、SUMIF函数、VLOOKUP函数、SUMPRODUCT函数...... 小编总结了8个在工作中常...

3956
来自专栏C语言及其他语言

【每日一题】问题 1102: 明明的随机数

题目描述 明明想在学校中请一些同学一起做一项问卷调查,为了实验的客观性,他先用计算机生成了N个1到1000之间的随机整数(N≤100),对于其中重复的数字,只...

2849
来自专栏数据结构与算法

BZOJ3687: 简单题(dp+bitset)

Description 小呆开始研究集合论了,他提出了关于一个数集四个问题: 1.子集的异或和的算术和。 2.子集的异或和的异或和。 3.子集的算术和的算术和...

3516
来自专栏Leetcode名企之路

【Leetcode】54. 螺旋矩阵

给定一个包含 m x n 个元素的矩阵(m 行, n 列),请按照顺时针螺旋顺序,返回矩阵中的所有元素。 示例 1:

1312
来自专栏乐百川的学习频道

一个余数问题的思考

刚刚在贴吧上看到一个很简单的算法小问题,顺便看到了很多人不同的思路。我觉得很有意思,所以也来研究一下。 问题如下: 一筐鸡蛋: 1个1个拿,正好拿完。...

2039
来自专栏聊聊技术

原 初学数模-MATLAB Quick S

4589

扫码关注云+社区

领取腾讯云代金券