读书笔记: 博弈论导论 - 总结 总结 本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记的总结。
博弈论 博弈论是关于智能理性决策者的协作和冲突的数学模型的研究。
博弈论的目的可以说是研究寻找博弈均衡的方法。
博弈论的直接目标不是找到一个玩家的最佳策略,而是找到所有玩家的最理性策略组合。
我们称最理性策略组合 为均衡 。
博弈论(也叫逆向博弈论)的另外一个作用是机制设计,根据期望的结果,设计一个博弈体系。
博弈论的分类 这本书中将博弈论的只是分为四类:
完整信息的静态博弈 完整信息的动态博弈 不完整信息的静态博弈 不完整信息的动态博弈 博弈论的数学模型 普通形式博弈(normal-form game)的数学表达 一个有限的玩家集合, N = {1, 2, \cdots, n} 每个玩家的纯策略集合的组合, {S_1, S_2, \cdots, S_n} 一套收益函数, {v_1, v_2, \cdots, v_n} ,对于每个玩家,每一种所有玩家选择的策略组合,都有一个收益值。
v_i: S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n \text{ for each } i \in N 贝叶斯博弈(Bayesian Game)
用于描述不完整信息博弈。
\left \langle N, \{ A_i \}_{i=1}^n, \{ \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ v_i(\cdot; \theta_i), \theta_i \in \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ \phi_i \}_{i=1}^n \right \rangle \\ where \\ N = \{ 1,2,\cdots, n\} \text{ : is the set of players} \\ A_i \text{ : the action set of player i} \\ \Theta_i \text{ : the type space of player i} \\ v_i : A \times \Theta_i \to \mathbb{R} \text{ : type dependent pay of function of player i} \\ \phi \text{ : the belief of player i with respect to the uncertainty over the other players' types} \\ \phi(\theta_{-i} | \theta_i) \text{ : the posterior conditional distribution on } \theta_{-i} 术语 静态博弈(static game) vs 动态博弈(dynamic game)
静态博弈指所有玩家同时、独立做出选择。也叫做同时博弈(Simultaneous game)
动态博弈指所有玩家按照次序做出选择。也叫做序贯博弈(Sequential game)、序列博弈。 完整信息博弈(Complete information game) and 不完整信息博弈(Incomplete information game)
完整信息博弈是指所有知识被所有玩家都了解,就是成为了公共知识。
不完整信息博弈是指一个玩家不知道其他玩家的部分信息(actions, outcomes, payoffs)。 完美信息博弈(Information perfect game) vs 不完美信息博弈(Information imperfect game)
完美信息博弈指一个玩家知道对手做出了选择,并且知道对手的选择是什么。比如:围棋。
不完美信息博弈指一个玩家知道对手做出了选择,但是不知道对手的选择是什么。比如:德州扑克。 普通形式博弈(Normal-Form Game) vs 扩展形式博弈(Extensive-Form Game)
博弈的数学化定义方式。
普通形式博弈比较简单,适用描述信息较少的情况,比如:两个玩家的纯策略的静态博弈。
扩展形式博弈用于形式化描述博弈。无论完美信息还是不完美信息,完整信息还是不完整信息都可以。
针对不完美信息,支持信息集的概念。
针对不完整信息,支持Nature和类型概念。 Subgame-perfect equilibrium
这里主要说perfect这个词,这个词和equilibrium用在一起时,常常有精炼(refinement)的意思,表示优化均衡的结果。 序贯(sequential)
序贯表示连续的。 信念(beliefs),
玩家i的一个信念就是他的对手们的一个可能的策略组合。 最佳反应(Best Response)
当其他玩家策略已知时,玩家i的优势策略就是其最佳反应。
这是博弈论的中心。理性,序贯理性的意味就是最佳反应。均衡的结果也来自于最佳反应。
最佳反应:对于玩家i,给定其对其他玩家的信念,他会选择在这个信念上对自己最好的行为。 序贯理性(Sequential Rationality)
在博弈中的每个阶段,玩家都保持理性。 信任系统(a system of beliefs)
对每个信息集上一个行动的选择概率。见后面的数学定义。 信誉(Reputation)
在博弈论中,玩家为了证明自己的信誉(自己的类型),会选择一种行为,这种行为只会对自己的类型有益,而对其它类型有损失。 经典博弈问题 囚徒困境(Prisoner's Dilemma)
两个囚徒选择沉默(mum)和告密(flink)的一个静态博弈问题。 报复博弈(Revenge Game)
报复博弈一般和囚徒困境组成一个两阶段博弈。
两个囚徒在玩完囚徒困境后,进入报复博弈,选择单独人(loner)和加入帮派(gang)的一个静态博弈问题。 古诺双寡头(The Cournot Duopoly) (p-Beauty Contest) 两性之争(the Battle of the Sexes) 策略 一个策略是一个玩家在博弈中,根据当时的情况,选择其行动的逻辑。
策略有各种各样的。我们可以想象每个策略都是如果这样,我就选择行动X,等等。
博弈理论中定义了一些策略。
纯策略(Pure Strategy)
玩家总是选择一个特定的行动。 混合策略(Mixed Strategy)
玩家在选择行动上有一个可能性分布。但是最终会选择一个纯策略。 行为策略(Behavioral Strategy)
玩家在选择行动上有一个可能性分布。一般用于动态博弈的自然选择,所以总是使用这个可能性分布来计算(期望收益等)。 正式的说法是:对每个信息集指定一个行动上的独立可能性分布。
条件选择策略(Conditional Play)
如果怎样,我会怎样的策略。 奖罚策略(Reward-and-punishment Strategy)
好行为被奖励,坏行为被惩罚的策略。用于多阶段博弈。 残忍触发策略(Grim-trigger strategy)
在第一阶段上选择一个合作(符合子博弈精炼均衡)的行动;
在以后的阶段里,继续选择这个合作行动,当且仅当对方也一直选择合作的行动;否则选择惩罚性的行动。 使用第三方作为信誉机制(Third-Party Institutions as Reputation Mechanisms)
在多阶段博弈中,如何保证协作的一种机制。
玩家1:如果玩家2支付保证金给玩家3(第三方),则信任玩家2,否则不信任。
玩家2:在阶段1,支付保证金给玩家3。在以后的阶段中,如果玩家3一直遵守保证金协议,则继续支付保证金。
如果支付保证金了,则于玩家1合作,否则叛变。
玩家3:(保证金协议)在一个阶段中,如果玩家2合作,则返回保证金给玩家2;否则不返回保证金。 不使用第三方的信誉机制(Reputation Transfers without Third Parties)
在多阶段博弈中,如何保证协作的一种机制。
玩家P_1^1 :如果玩家P_2^1 创建了一个唯一的商标,则信任玩家P_2^1 ,否则不信任。
玩家P_2^1 :在阶段1,选择一个唯一的商标,和玩家1合作。然后,把商标以价格p^* > 1 卖给下家(玩家P_2^2 )。
玩家P_1^t(t>1) :如果1) 玩家P_2^t 从玩家P_2^{t-1} 手里买了这个唯一的商标,2) 而且这个商标没有被滥用(叛变)过,则信任玩家P_2^t ,否则不信任。
玩(P_2^t(t>1) :如果1) 玩家P_2^{t-1} 从玩家P_2^{t-2} 以价格p^* 手里买了这个唯一的商标,2) 而且这个商标没有被滥用(叛变)过,和玩家P_1^t(t>1) 合作。然后,把商标以价格p^* 卖给下家(玩家P_2^{t+1} )。 方法 严格劣势策略(strictly dominated strategy)
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。 优势策略(Dominant Strategy)
如果有的话,玩家一定会选择优势策略。 帕累托优势(pareto dominate) 重复剔除严格劣势均衡(Iterated elimination of strictly dominated strategies (IESDS))
如果能够找到一个严格劣势策略,将其删除掉,简化了博弈;
然后在简化的博弈中,重复上面的过程,直到有一个优势策略为止。 纳什均衡(Nash equilibrium)
纳什均衡的定义是:在一个策略组合中,如果一个玩家i,当其他所有玩家的策略都不变时(是这个策略组合中的玩家策略),玩家i的策略是个最佳反应。
如果这个条件对每个玩家都成立,则这个策略组合是一个纳什均衡。
纳什均衡的概念可以从纯策略组合,推广到混合策略(期望收益)、(动态博弈的)行为策略、(不完整信息)贝叶斯纳什均衡。 纳什证明了每个博弈都至少有一个纳什均衡。
纳什均衡相当于在博弈论中发现了一个新大陆。
一个问题是纳什均衡的解往往很多,因此,有一个精炼 的概念,就是我们常常看到词perfect,其目的是近一步减少纳什均衡的解。
子博弈精炼(Subgame perfection)
子博弈精炼是对纳什博弈的一种优化。
要求对于一个行为策略组合\sigma^* ,满足在任何一个合适的子博弈中,这个行为策略组合\sigma^* 都是一个纳什均衡。 逆向归纳法(Backward induction solution)
在扩展形式博弈树中,可以形象的看出:
从底层开始,玩家在每个父节点的子节点集合中,选择出(最佳反应的)其会获得最大收益的行为。每个父节点会对应一个或者几个最佳反应节点。
将这些节点的收益值作为其父节点的收益值。
重复迭代可以找到所有玩家的一个子博弈精炼均衡。 贝叶斯纳什均衡(Bayesian Nash equilibrium)
可以说是纳什均衡在不完整信息博弈中的扩展。大概的意思是计算了其他玩家类型的分布概率上的收益期望。
注意:子博弈精炼不适用于不完整信息博弈,主要原因是不知道其他玩家的类型,导致在子博弈上难以确定收益。 精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)
在不完整信息博弈中,精炼贝叶斯均衡是一个贝叶斯纳什均衡和一个信任系统的组合,并需要满足下面四个需求:
精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)的四个需求: 需求 15.1
每个玩家在每个信息集上,都将有一个意义明确的信念(关于他的位置)。也就是说博弈将有一个信念体系。 需求 15.2
\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*) 是一个不完整信息博弈的贝叶斯纳什均衡,我们要求在所有信息集上,在均衡路径上的信念符合贝叶斯规则。 需求 15.3
对于不在均衡路径上的信息集,其信念值可以是任何值。 需求 15.4
给定玩家的信念,玩家的策略必须是序贯理性。也就是说在每一个信息集上,玩家将选择信念对应的最佳反应。 原理 单阶段偏差原理(The One-Stage Deviation Principle) 在理解单阶段偏差原理 之前,我们先回顾一些背景知识:
每个博弈都存在至少一个纳什均衡。 在有限多阶段博弈中,如果每个阶段博弈都有唯一的纳什均衡,则多阶段博弈的最优结果就是这些纳什均衡的组合(的路径)。 在有限多阶段博弈中,如果至少有一个阶段博弈有多个的纳什均衡,则多阶段博弈的最优策略组合可能会偏离阶段博弈的纳什均衡。 那么在多阶段博弈中,在多阶段博弈的扩展形式博弈树(extensive-form game tree)上,一条路径的收益是容易得到的,只要求出每个阶段博弈的收益总和就可以了。
这样,我们也可以比较容易计算两条路径中,哪个更优(一般和折扣率有关)。
问题是:对于玩家i来说,当其他玩家的策略组合\(\sigma_i\)给定的时,如何找到玩家i的最佳反应(best response)?
注:这里的策略可以是任何策略,比如纯策略,混合策略,条件策略等。
这里边,一个比较麻烦的问题是路径太多。比如:考虑一下一个有五个阶段的博弈。
幸运的是,上面这个骇人的问题可以被简化- 这就是单阶段偏差原理。
单阶段偏差原理 的含义是,当其他玩家的策略组合\(\sigma_i\)给定的时,判断玩家i的一条路径是否最优,只要看这个路径(策略)是不是单点不可改善(one-shot unimprovable)。
因此只要检测和它有一个信息集不同 的那些路径就可以了。
比如:如果一个阶段博弈有A和B两个行动,在一个三阶段的重复博弈中,判断一条玩家的路径(策略)AAA是否是不可改善,只需要对比BAA,ABA和AAB就可以了。
很明显,这个原则只适合于有限多阶段博弈。
其实原书中,对于Prisoner-Revenge Game,计算折扣率,可以看成对单阶段偏差原理 的过程描述,只不过只是比较两个路径。
下面加上书中的定义和定理,以供参考。
单阶段偏差原理表述如下:
一个阶段的不可改善策略必定是最优的。
这意味着,如果在一个阶段博弈中,存在一个单阶段不可改善策略 ,则不会发生偏离,也就是不存在非纳什均衡的最优策略。
反之,则一定会发生偏离的情况。
单阶段不可改善策略 的定义如下:
一个策略\sigma_i 是单阶段不可改善的,则:
不存在信息集h_i 和行动a \in A_i(h_i) 和对应的策略\sigma_i^{a, h_i} (其为除了信息集h_i 以外,和\sigma_i 都一致的策略),有\sigma_i^{a, h_i} > v_i(\sigma_i, h_i) 。
参照见One-shot deviation principle
基本数学符合 动态博弈(Dynamic Game) 策略组合\sigma = (\sigma_1, \cdots, \sigma_n) : 一个动态博弈的混合策略组合(mixed strategies profile)。
不完整信息的动态博弈 \mu : 信任系统(a system of beliefs),对每个信息集上一个行动的选择概率。
\mu(x) \in [0, 1] \\ \sum_{x \in h} \mu(x) = 1, \forall h \in H
参照