波斯公主选驸马: 关于算法和重大决策

我大学的专业是数学。有一次,教授给出了《波斯公主选驸马》题「1」,如下:

波斯公主到了适婚年龄,要选驸马。候选男子100名,都是公主没有见过的。百人以随机顺序,从公主面前逐一经过。每当一位男子在公主面前经过时,公主要么选他为驸马,要么不选。如果选他,其余那些还没有登场的男子就都遣散回家,选驸马的活动也 over 了。如果不选,当下这名男子就离开,也就是 pass 掉此人,下一人登场。被pass 掉的,公主不可以反悔再从选。规则是,公主必须在这百人中选出一人做驸马,也就是说,如果前99人公主都看不中的话,她必须选择第100名男子为驸马,不管他有多么丑陋。

任务是,给公主设计选择方法,让她有最高概率选到百人中最英俊的男子为驸马。

说明一点是,没有任何选择方法能够保证公主一定选择到最帅的帅哥。对于任何选择方法,总存在某些出场的顺序,让公主与帅哥错过。所以,题目所问的,不是必胜的选法(因为不存在),而是概率最高的选法。

因为并不是要讨论数学,我这里就直接给出答案了:最佳选法是 pass 掉最开始的 100/e 名男子(e = 2.718… 是自然对数,即 100/e 约等于 37)。但是记录下这 37 名男子中最英俊者。之后鱼贯而来的男子中,出现的第一位英俊程度超越所有前 37 人者,即为驸马。如果人都走光了,也没出现这么一位 Mr. Right,那么就只好选择第 100 位男子。

这个最佳选法,后面有很有意思的数学推导。感兴趣的话,可见注「2」。

正解后面的思考方法

数学的推论且不论,这个答案背后是一个可为广泛应用的思考方法。公主选择的难处在于她不知道这百人的英俊程度是怎样分布的,是在怎样一个范围内。所以她最佳的策略是,pass 掉最初 37 位男子,但是把他们看成一个有代表性的 sample,从而了解这百人相貌的大致分布。然后在这个认知的基础上进行选择。

真实的谈情说爱当然不是一个简单的选美。普通人也不能像波斯贵族那样要谁有谁。但是思维方法共通。假如你是一位女生,第一次恋爱的时候,也许你觉得男朋友不够细腻,不解风情。但你无法判断的是,是否天下男生大多如此,还是你特别倒霉碰到这样的极品「3」。你唯有试过三个五个后,才能够对男性这个物种有个全局的判断。所以,当你和第一任男朋友分手后,大可不必悲天悯人,亦或对天下男人失望。正确的态度是:okay,我现在有一个 data point, 现在我来找些更多的 data points「4」。

花多长时间学习?

找到多少 data points 才够呢?换句话说我们学习到什么时候才能够信任自己对世界的判断?以下这个小故事中,我们可以看出大自然是怎么解决这个问题的。

1944年冬天,二战进入尾声。德国人封锁了荷兰德占区的补给。1944-1945年的冬天,被称为”hunger winter”(饥饿的冬天)。有四百五十万荷兰人遭受饥饿,一万八千人饿死。1945年,德国战败,封锁也随之解除。

但这个饥饿冬天所带来的影响却一直留存到几十年后。那些封锁期间怀着孩子的妇女,她们肚子里发育中的胚胎,虽无知觉,也经历了这场灾难。几十年后,当这些孩子成为50岁的中年人,科学家们发现他们会比之前,或者之后出生的荷兰孩子都更肥胖,更容易有心血管疾病「5」。

对此的一种解释是,还在妈妈肚子里的时候,我们的身体就在学习这是怎样一个世界:是个食物充足,衣食无忧的世界?还是一个有上顿没下顿的世界?这些荷兰饥荒那年出生的婴儿,他们的身体学习到:“这是一个食物匮乏的世界”。哪怕他们成年之后,荷兰已经是一个富余的发达国家,他们的身体还是不忘早年饥饿的经历,会尽力存储脂肪,准备着下一个饥饿冬天的到来。结果就是这个人群更容易肥胖,并且更容易患有与肥胖相关的心血管疾病。

有意思的是,对食物丰富与否的学习,在10月怀胎中完成,居然之后几十年也无法扭转。这个学习的窗口,是我们的身体,我们的基因所决定的。孩子学东西快,是因为他们的身体和大脑就是 specialized 学习机器。有研究说,人脑中负责抽象思维的前额叶在25岁才定型「6」。换句话说,25岁以前,我们的思维,特别是那些高级的认知能力,还在不断变化着。而这其中很多的变化,就来自我们的环境。这种变化,就是我们在学习我们所在的,到底是怎样一个世界;怎样的思维和行为,是在这个世界上行得通的。

从人脑的发育看来,过了25岁,至少从生理上来说,这种学习就停止了。这个 deadline 取决于基因,而基因来源于千百万年的进化。千百万年中,人类的平均寿命是徘徊在20-30岁。这可能就是为什么我们的学习,从我们身体的设计上看来,是在25岁就截止了。

我们无法影响自己生理、身体上的学习,但是有些事情的学习,却是我们可以影响的,而且应该去影响的。选择怎样的工作?居住在哪个城市?找什么样的伴侣?这些似乎不是应该匆匆忙忙,赶着一个deadline (特别是25岁的 deadline)去决定的事情。你会进行很多比较,才决定购买一辆汽车或者房子。而工作、伴侣,这些更重要的决定,你当然要更多比较比较,了解一下你是在怎样的一个世界里,才做决定。

也许你30岁了,没有婚配的对象,不喜欢正在做的工作,但有种种压力期待你“别折腾,安顿下来”。这压力可能来自于一个一直不给个人选择的社会传统,或者来自于一个预期寿命只有30岁的进化压力。但是这一切都变了:社会已经有越来越多的选择余地,我们也可以预料之中的活到80,90岁。

也许你要认真考虑一下波斯公主的问题:我是否应该继续收集 data points?还是已经到了要做终生决定的时候?

回到波斯公主的题目

波斯公主的题目至少还教了我们另一点,就是哪怕你的方法是最优,你也永远不可能是每次都得到最英俊的驸马。在最优化的选择方法下,公主也只有 40% 左右的可能性选择到最帅的男人「7」。就是说,如果这样选择十次,每次这百名男子以随机顺序出现,其中有6次,公主都会选到不是最帅的驸马。

生活就是有风险的,不可测的。这似乎是个打击,但也是一种释怀。尽人事,安天命。如果你按照一个正确的方法去做了,哪怕结果差强人意,这也并不是你的错。

我学会的另一点是,如果我是作为被选的一方(就像那100名男子),timing 是至关重要的。以下是一个简单的多的题目:

如果你是这百名男子中的一名,并且你能够决定自己出场的名次,你会选择在什么时候出场,以最大提高自己被选的概率?

答案是第 38 名。你不会选择在 38 名之前,因为你被选的概率是零(假设我们的公主学过高等数学,知道最佳选法)。你也不会选择后于38,因为你前面每多一个人,就意味着多了一分公主选上他的机会「8」。

如果你有一位意中人,你当然要努力去追求幸福,但你可能也要想一下,这是否是最好的 timing?

37% 法则“实测”!

37% 法则的效果究竟如何呢?我们在计算机上编写程序模拟了当 n = 30 时利用 37% 法则进行选择的过程(如果 MM 始终未接受求爱者,则自动选择最后一名求爱者)。编号越小的男生越次,编号为 30 的男生则表示最佳选择。程序运行 10000 次之后,竟然有大约 4000 次选中最佳男生,可见 37% 法则确实有效啊。

计算机模拟 10000 次后得到的结果

这个问题由数学家 Merrill M. Flood 在 1949 首次提出,这个问题被他取名为“未婚妻问题”。这个问题的精妙之处在于,在微积分界叱咤风云的自然底数 e,竟也出人意料地出现在了这个看似与它毫不相关的问题中。不知道此问题发表后,Geek 男女间会不会多了一种分手的理由:不好意思,你是那 37% 的人⋯⋯

注:

「1」原题是波斯王子选妃。

「2」这个题目在科学的松鼠会上。

「3」我现在就可以做个解答:天下男生的确大多如此,但是经过训练,可以有所改进。

「4」这种方法,也就是 Bayesien 统计学的核心:根据信息的不断丰富而修正对世界的认知。

「5」“Effects of prenatal exposure to the Dutch famine on adult disease in later life: an overview”, T.J. Roseboom et al., Molecular and Celular Endocrinology, vol 185 20 Dec 2001, Pages 93-98

「6」“Why do they act that way?: a survival guide to the adolescent brain for you and your teen”, David Walsh. New York: Free Press, 2004.

「7」这个40% 左右的数字,是可以推导出来的。但也可以通过模拟估算。详见科学松鼠会文:http://songshuhui.net/archives/57722

「8」谢谢楼下 zhongyu wang 的提醒。第100名也是好位置,即如果最帅的锅出现在前37名中,那么公主必定会选第100名。所以,第100的位置至少是会有37%的概率被选中。这可能是比第38还好的位置!转换成对异性的追求,不知是否意味着,你要等到你的爱慕对象穷途末路的时候再现身:)

如何求出最优的 k 值?

大数学家欧拉对一个神秘的数学常数 e ≈ 2.718 深有研究,这个数字和“拒人问题”竟然有着直接的联系。

对于某个固定的 k,如果最适合的人出现在了第 i 个位置(k < i ≤ n),要想让他有幸正好被 MM 选中,就必须得满足前 i-1 个人中的最好的人在前 k 个人里,这有 k/(i-1) 的可能。考虑所有可能的 i,我们便得到了试探前 k 个男生之后能选中最佳男生的总概率 P(k):

用 x 来表示 k/n 的值,并且假设 n 充分大,则上述公式可以写成:

对 -x · ln x 求导,并令这个导数为 0,可以解出 x 的最优值,它就是欧拉研究的神秘常数的倒数—— 1/e !

也就是说,如果你预计求爱者有 n 个人,你应该先拒绝掉前 n/e 个人,静候下一个比这些人都好的人。假设你一共会遇到大概 30 个求爱者,就应该拒绝掉前 30/e ≈ 30/2.718 ≈ 11 个求爱者,然后从第 12 个求爱者开始,一旦发现比前面 11 个求爱者都好的人,就果断接受他。由于 1/e 大约等于 37%,因此这条爱情大法也叫做 37% 法则。

不过,37% 法则有一个小问题:如果最佳人选本来就在这 37% 的人里面,错过这 37% 的人之后,她就再也碰不上更好的了。但在游戏过程中,她并不知道最佳人选已经被拒,因此她会一直痴痴地等待。也就是说,MM 将会有 37% 的概率“失败退场”,或者以被迫选择最后一名求爱者的结局而告终。

摘自:稻田报告

原文发布于微信公众号 - 大数据文摘(BigDataDigest)

原文发表时间:2014-08-25

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