Bloom Filter 的基本原理和实现
0x00 前言
Bloom Filter 是由 Burton H. Bloom 在 1970 年提出的二进制向量数据结构，它具有很好的空间和时间效率，被用来检测一个元素是不是集合中的一个成员。
Bloom Filter 最初的论文发表在ACM，名为《Space/Time Trade-offs in Hash Coding with Allowable Errors》，感兴趣可以下载阅读。本篇主要分享 Bloom Filter 的基本原理、代码实现以及误判率的计算，看过 BitMap 那篇文章的童鞋再看这一篇会十分简单。
Bloom Filter 也就是常说的布隆过滤器，后面就统一称为 BF。
0x01 原理
BF 可以高效地表示集合数据，它使用长度为 m 的位数组来存储集合信息，同时使用 k 个相互独立的哈希函数将数据映射到位数组空间。
直接上图，根据图来大致梳理一下算法流程。
- 初始化一个长度为m的位数组，并将所有元素置为0；
- 对于集合
S={a1, a2,…,an}中的任一元素a，分别使用k个哈希函数对其计算： $w_i=hash_i(a)$，并将位数组中的第 $w_i$ 位置为1； - 对S中所有的成员执行同样的操作。
基本的原理就是这么多，看一下图中的例子就能明白了。比如现在要 dantezhao 用 BF 表示，我们会用两个哈希函数分别对 dantezhao 计算，计算结果分别是5和19， 然后对位数组中的第5位和第19位分别置1即可。
当查询 dantezhao 是否在集合的时候，只需使用同样的哈希函数计算，如果对应位数组的位都为1，则说明存在。只要有任意一位为0， 则说明不存在。
0x02 实现
具体的实现可以直接看代码，用 Python 写的一个简单的版本，总共也就20行左右。代码和 BitMap 的代码实现很接近，不同的是，哈希函数变成了多个。
0x03 误判率
BF 的基本原理说起来也很简单的，但是还有一些知识点需要关注一下。比如在 BF 中，会出现误判，就是某个成员本来不在集合中，但是会被判断成在集合中。为了把误判率控制在一个可以接受的范围，我们就需要适当地调配能够影响误判率的几个因素：集合大小n、哈希函数个数k和位数组大小m。
这三个影响因素中，m和n对于误判率的影响比较直观。
集合大小n：当其它条件固定的时候，集合大小n越大，则位数组中就会更多比例的位置被置为1，因此误判率会更大。
位数组大小m：同理，当其它条件固定时，位数组大小m的值越大，那么数组中剩余为0的位就会更多，因此误判率就会更小。
哈希函数的个数k：比较难分析，比如将m和n固定，使用的哈希函数越多，则位数组中会有更多比例的位置会被置为1，即增大的误判率，但是在查询时，如果哈希函数个数越多，则被误判的可能就越小。
然后该怎么找到3个因素的最佳取值呢？这里省略推导过程，直接给出结论。
如果给定 m 和 n，当 k 取以下值时，误判率 p 的值最小：
k=ln2\frac{m}{n}=0.7\frac{m}{n} \tag{1.1}
此时误判率 p 等于：
p_{min}\approx(1-e^{\frac{kn}{m}})^k=(1-\frac{1}{2})^k=0.6185^{\frac{m}{n}} \tag{1.2}
在实际应用中，更常见的需求是，已知集合大小n，并设定好误判率p，需要计算出该给 BF 分配多大内存合适，也就是要确认m的大小，可使用如下公式解决问题：
m=-\frac{nlnp}{(ln2)^2} \tag{1.3}
有了这三个公式，可以在实际应用中灵活地设置各种参数来合理使用BF。
0xFF 总结
传统 BF 只能添加元素，不能对元素计数，也无法删除元素。如果把底层数组的 bit 换成 int，就可以支持计数和删除动作。每次插入元素时，将对应的 k 个 int 加一；查询时，返回 k 个 int 的最小值；删除时，将对应的 k 个 int 减一。这就是BF的改进版：Couting Bloom Filter，后面再来专门分享。