Mathematica 谜中智 | 奥运五环 数字谜题（谜底）

奥运五环中的秘密，你找到了吗？

谢谢@翁德平的回答。

共有8组答案，数字按下图位置和顺序摆放。答案分别是：

925461738， 837164529， 941832567， 765238149， 765283194， 491382567， 861743295， 592347168。

解题

使用函数：Permutations,Select, Union, MemberQ, FromDigits, Timing。

方法一：数学思维

本题虽小，但我们也可以探讨一下解题思路，如下从两个层次，数学和算法分别来探讨一下。

先从数学上讲，本题属于离散和组合数学，1-9个数字的全排列，用Wolfram语言可以表示如下。

它们构成了本题全部的数据组合，正确答案肯定在这个范围内。接下来就是我们如何通过定义满足题意条件或规则，来把正确答案从以上的集合中找出来。

根据题意要求，每个环内的数字相加之和相等。再通过观察，我们不难发现，两环相交处中间的数字被用到了两次。其实就是第一个环是由2个数字相加，第二、第三和第四个环是由3个数字相加，第五个环又是由2个数字相加。9个数字中间有4个数字被两侧的环重复利用了，5个中间的数字仅使用了一次。

如下我们来构造一个自定义函数，它的功能就是根据题意分别为每个环的相加之和。

随后，我们将1-9的全排列permutation，代入自定义函数ringSumFunction，来计算环内之和，并将它们中5个环相等的情况挑选出来。如下我们认为5环的环内之和数值相等，因此合并之后长度为1。

结果出来了，共有8组解，而且可以得知，是环内之和为 11，13 和14的情况是正确解。但是具体9个数字的排列顺序目前还不知。没关系，接下来我们根据以上结论，环内之和数相等ringSumEqual，从permutation中把符合的情况都挑选出来。最后用FromDigits将链表在转换为数字形式。

恭喜你！获得了正确的答案。从数学角度而言，这种方法定义了一个数据库，然后通过一定规则或条件，从数据库中搜索找到正确答案。因此这种方法比较简单、直接，当然也便于理解，从数学角度而言是它或许是可以接受的。但是它也存在一个问题，接下来我们进一步讨论。

我们回顾一下之前解题的代码，并且用Timing来测试一下运行时间。

代码4行，倒也不算复杂。但运行时间达到约8秒，这个其实有点差劲了。心理学家曾测试，计算机用户如果等待计算机响应的时间大于5秒，就能明显感觉是在等待。分析一下造成运行时间较长的原因是1-9个数字的全排列permutation实际是一个大数据团。

其实1-9个数字的全排列也就是9的阶乘，数据的量级在36万组，计算量当然也就是36万次了。

离散数学中排列组合问题就是这样，往往是按照指数级别向上增长，看看没几个数字，但组合在一起就是个大谜团。

方法二：算法思维

接下来我们从算法设计的角度，再来讲解一下。之前的方法从算法上讲，属于“蛮力法”或是“暴力法”，也就是让计算机“充分地”去做所有的计算，包括必要的和“不必要”的任务。

同时，根据之前的分析，我们也知道了问题所在，组合数量庞大。那么让我们换个思路，如何降低排列组合数量，提高计算机运行的效率。

通过之前的一轮解题，我们发现其实每个环内数之和也就是从11到14的范围内。那么我们不必把每个数字都排列出来了，而仅仅挑选两环相交的数字numberBetweenRings 生成排列，剩余的数字我们可以通过环内数之和sumRings间接计算而得。

同样地，我们来构造以供由4个环间数字和1个环内数之和作为函数的输入变量，构成的9个数字的链表。

这样构造9个数字链表，可能未必正好是1-9这九个数字，再通过Sort把符合1-9数字情况挑选出来。如下我们假设环内数之和等于11。看一下计算结果，运行时间大幅缩短，达到0.1秒以内。

当然以上计算的其实仅是一种特殊情况，即环内数之和等于11。但仔细想想，其实环内数之和的范围也是极为有限的，它的最小值是1+2=3，它的最大值7+8+9=24，从3到24也就是环内数之和的有效范围。我们再次计算，来获得环内数之和ringSum变量在全部有效范围内的解。

通过Select把空解过滤掉，也用FromDigits将链表在转换为数字形式。

可见，得到了同之前方法相同的正确答案。同样使用4行代码，运行时间明显下降了一个数量级，现在仅需0.8秒了。

其实质是计算量小了一个数量级，目前的组合数仅3千组，再乘以20多种环内数之和的情况。通过我们合理的分析和理解，大幅减少了组合情况，仅计算"最必要"的部分，而将一些简单的冗余计算抛弃。

从8秒降低到0.8秒，运行效率提升一个数量级。使原有明显的等待时间，降低到一种使用者很难发现的等待时间，是实现人机动态和高效交互的基础。

演示

参考文献

[1] F. Wu, "Pandigital Olympic Circles Puzzle", Wolfram Demonstrations Project.