Mathematica 11 在偏微分方程中的应用

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导读

偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学专业课程。它是现代数学的一个重要分支，在许多应用学科特别是在物理学、流体力学等学科中有重要的应用。

版本11新增的功能支持与经典和现代偏微分方程相关的边界值问题的符号解。数值偏微分方程的求解能力得到加强，涵盖了事件、灵敏度计算、新的边界条件类型以及对复值偏微分方程更好的求解。这些进步都为物理学、工程学和其他学科中建模等方面提供了更加强大和灵活的工具。

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案例

Mathematica在偏微分方程中的应用部分示例如下:

下面小编用Mathematica求解几个实例的过程向大家展示其在偏微分方程中的应用。

示例1:观察箱中的量子粒子

一个在以 xMax 和yMax 为边的二维矩形内自由移动的量子粒子，由二维含时薛定谔方程，加上使波函数在边界处为 0 的边界条件来描述。

这种方程有一个一般解，就是被称为本征态的无限形式和。

定义初始条件为一个归一化的本征态。

在这个情况下，方程的解就是初始条件的一个随时间变化的乘数（模为一）。

定义初始条件为本征态的和. 由于初始条件不是某个本征态，所以粒子位置的概率密度随时间变化。

用新的初始条件求解。

计算概率密度，代入约化普朗克常数、电子质量的值以及原子大小的箱的尺寸，单位使用电子质量的单位、纳米和飞秒（femtoseconds）.

可视化箱中随时间变化的概率密度。

示例2:交互求解和可视化偏微分方程

通过调整一个缺口在矩形上交互操作一个泊松方程（Poisson equation）。