用Wolfram语言绘制一笔画环形迷宫

所谓环形迷宫，是指下图这样的一幅迷宫，用一笔就可以绘制完成：

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初步画法

它的走法是从中心走到最外面或者反过来，从最外面走到中心。这样的迷宫特点很鲜明，它拓扑上与一个圆同构，或者叫同伦。然后的问题是开口，我们自然希望开口具备某种特征。我选择的特征是：若最内层的圆半径为 1，那么所有开口之间的距离也是 1。带缺口的圆的绘制其实是圆弧，自然的一个问题是问缺口的圆弧弧度是多少，使得圆弧两端之间的距离是 1。假设半径为 n，那么若弧度为 x，则这个特征可以表示为如下方程

解这个方程可得到 x：

当然在构建迷宫的时候，需要打通的是内外两层圆。为了让这两层圆的缺口能对上，我们需要的只是一个角度，然后加减内外层对应的弧度 x/2。因为这个 x/2 和层数 n 相关，所以我们最好把它定义成一个函数：

然后可以定义有一个缺口的圆的函数，参数为半径和开口中心的角度（这个开口中心的角度可以称为主角度），这个函数用于绘制最内层和最外层的圆：

在定义中间层的圆之前，由于 Mathematica 中圆弧函数 Circle 定义很奇怪，为了能正确绘制需要的圆弧，首先需要定义一些辅助函数，首先是把角度归到 [0,2π) 范围内的函数：

然后是逆时针绘制从 a 到 b 的圆弧的函数，不论 a 和 b 大小关系如何，始终绘制从 a 出发，沿圆逆时针行进到 b 的圆弧：

这样就可以从容绘制迷宫中间那些圆弧了，这些圆弧都承担着内层外缘和外层内缘的作用，所以每个都是开了两个口子的圆，也就是两段圆弧：

光有圆弧定义也是不够的，两层圆弧之间的开口要封起来，形成一个"通道"，于是就有通道的定义，参数 n 表示从 n 到 n+1 层圆之间的通道：

这样结合 COneGapCircle 函数，可以得到一个最简单的一笔画迷宫如下：

接下来就是定义完整的圆形一笔画迷宫了，可以看到，这个迷宫完全可由各层的角度决定，所以参数就很简单了，从内到外的若干角度组成的列表，然后就可以有一个直观的定义了：

然后给定一些角度，就可以得到迷宫。下面这个的初始状态是一眼可以看出来的迷宫：

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随机角度选择

第一个观察是这个角度列表长度必须是奇数，不然中心拓扑上就是圆的内部，怎么走也是走不到外面的。

第二个观察则是经过一些简单的试验，可以看到这个角度列表要是设定得不好，那么最终的迷宫会很容易走出来。要生成一个随机的迷宫，我们还得设置一些条件，让它不那么随机。

假设从内到外这个角度列表是 Subscript[a, 1] 到 Subscript[a, n]。那么显然 Subscript[a, i]和 Subscript[a, i+2]在圆上的差异要尽可能的大，如果在圆上同一个位置，那么就是属于一眼看出来的那种了。

不说结合第一个观察，从内到外偶数位置的缺口怎么走也走不到的，即便相邻的偶数接口在圆的同一个位置，也无关紧要。所以这一条原则又可以修正为相邻奇数位置的角度不能一样，而是要尽可能的差异化。

第三个观察是考察相邻的两个角度的，最显然的它们的范围不能有重合，重合的话，这个迷宫的拓扑就变了，不再是简单闭曲线了，这个很不好，内外不分。即便不重合，靠得太近也不好，靠太近了玩家走到那一关直接就能知道往哪个方向走，因为另一个方向得死路一眼就看出来了。

根据上面的观察我们可以定义一个随机生成角度列表的函数，当然在此之前我们需要定义一些辅助函数。首先是判定某个角度是否在一段角度范围内的判定函数，这个判定函数的两个参数必须是逆时针的一段范围，且起点小终点大：

然后是判定第 n 层的缺口主角度 gn 是否和 n 层的另一缺口主角度 g 有重叠的函数。要注意第 n 层的主角度一个是第 n 个角度，更有一个第 n - 1 层的主角度：

再下面是判定两个主角度差异是不是太小的函数：

有了这些判定函数，就可以定义最终的生成函数了：

实验结果看来也不错：

Graphics[CCircleEulerMaze[CGenRandomAngles[19, 3π/2]], ImageSize -> 700]

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求解路径

光有角度生成迷宫，也不见得尽善尽美，因为这个层数一多，看着人眼睛就晕了，要是能顺便求解就更好了。通过观察可以发现，其实对于一个角度序列，就是要连通奇数位置的（假定起始位置是1）角度。而从哪个方向走取决于偶数位置的角度，要偶数位置的角度没有挡在奇数位置之间。

解路径有两种，一种是圆之间的圆弧，以重视从圆弧出口出来的直线段。后者很好办：

然后就是根据三个弧度来生成解圆弧的函数了：

最后我们把线段和圆弧交替穿插起来，就拼成了完整的解路径。交替穿插是为了能够给后面解路径的动画生成提供方便。

从最后效果看，也蛮不错的：