自然语言处理 (三) 之 word embedding

理解每个word的意思是自然语言处理的一大核心，那么怎样才能很好的描述word与word之间的 syntactic & semantic similarity 呢？ 这里介绍几种主流的 word embedding 方法，即把word映射到维度为d的向量，然后用向量间的cosine距离或内积描述word与word间的句法和语义相似度。

大家一定知道 word2vec，它发表于2013年，由于其在 word analogy, word similarity 等多个 linguistic tasks 上面的 excellent performance，而且它比其余大部分 neural network embedding 方法 （如NNLM，RNN，LSTM）training 时更加的有效，使得它名噪一时。word2vec 最后可以得到一些有趣的线性关系，比如 Beijing – China + France ~= Paris。那么 word2vec 以及后来的 Glove, 相比其它的embedding模型 （如LSA），是否真的有模型上无比的优越性呢？答案是否定的。首先我们来介绍 word embedding 模型。

1. LSA: Latent Semantic Analysis

Singular Value Decomposition (SVD)，也就是大家熟知的 latent semantic indexing (LSI), 它成功的应用于 word embedding，基本思想既优美又直观： 给定 word-document 矩阵 Mmxn，每一行代表一个word，每一列代表一个document，M中每个 entry M(i,j) 代表第i个word在第j个document中出现的频率，如果我们用SVD 把矩阵M 分解成：M = UDVT, 每个矩阵UDV的秩为k，其中 k<<m, k<<n, 那么我们就可以使用 W = UD 中的每一行（k维）来作为每个word的embedding vector，W就称为 word embedding matrix。可以很容易的证明：M*MT = W*WT，那么为什么不使用M中的每一行当作embed words 呢？ 原因有两个：首先，M中的每一行都是一个高维的向量，务必会带来更多的计算量；其次，一个高维的向量的generalizability， 往往不如低维向量 (arguable)。

那么为什么SVD得到的 embedding vectors 能描述word与word间的 semantic similarity 呢？首先我们强调下：LSI 能（部分）解决 synonym (同义词) 问题， 而不能解决 polysemy (一词多义) 问题。那么它怎样解决同义词问题的呢？ 比如 car 和 automobile，为什么它们间的 embedding vector 具有较大的相似度？原因是：如果 car 和 automobile 总是会同时出现在同一个document中，那么它们见的相似度很大（即 car 和 automobile 在 word-document 矩阵中对应的行向量间的correlation 很大，接近１）；如果我们考虑下面这种情况：automobile 和 car从来不会同时出现在同一document中， 那么SVD得到的embedding，它们还有相似度吗？没有，因为M矩阵中，automobile 的向量与car的向量是perpendicular的，内积为0，cosine 也为0，因此得到的W矩阵中， automobile 和 car 的embedding vector 同样是垂直的；好了，我们考虑最真实的情形：有些document中只有car, 有些只有 automobile, 而有些同时出现 car & automobile, 这种情况下，M矩阵中automobile 的向量与car的向量就会有affinity，所以embedding后的向量也会相似。

后记：1999年，Thomas Hofmann 提出了 probabilistic latent semantic indexing (pLSI)，把M矩阵（word-document矩阵）分解用概率图模型来描述， 即 p(d,w) = Σp(w|t)p(t|d)p(d), 其中t代表了 latent topics。不过值得注意的：通过 maximum likelihood estimation (MLE), 得到了每个topic 下word的distribution p(w|t) 和每个 document 中 topic 的 distribution p(t|d), 并没有得到每个word的一个 vector embedding。pLSI最大的弱点是： 对于一个新的document, 要想得到它的 topic distribution p(t|d)，必须要再做一次inference, 使得pLSI的算法复杂度很高。

2. Pointwise mutual information (PMI)

LSI的input是一个 word-document 频率矩阵，PMI的input是一个word-context矩阵。那么 document 和 context 的区别和联系在哪里呢？其实 document 是一种context, 所以PMI的input理论上也可以是 word-document。最常用的context是 L个连续的words （大家可以想象 skip-gram中的context, 它们是一样的概念）。那么PMI用信息论中的mutual information来描述每个word 和 每个context间的association, 即：PMI(w,c) = log{p(w,c)/[p(w)p(c)]}，其中p(w,c)，p(w) 和 p(c) 分别表示特定的 word-context pair, word, context 在 所有的 word-context pairs 中出现的频率。

给定了一个PMI矩阵，每行就是一个word的embedding, 两个word间的相似度， 就可以通过他们embedding vector 的cosine或内积来算出。

可以知道： PMI 中每个word的vector embedding同样是个非常高维的向量， 因为往往context的个数非常多，而且还是dense的（word-document矩阵中每个word的 embedding vector 是sparse的，因为每个word并不是在每个document中都会出现），不仅如此，它还是ill-defined, 因为会有 -∞出现。那么实际中怎么使用PMI矩阵呢？ 实际中， 我们使用 PPMI metric来描述 word-context见的association, 即 PPMI(w,c) = max(PMI(w,c), 0)，PPMI embedded vector 在实际中能较好的描述word间的相似度。

后记： 使用PPMI 的行向量来描述word, 同样是个高维的embedding vector, 我们可以把PPMI当作LSI的input, 使用SVD来得到word的K维空间中的embedding。

3. skip-gram

Skip-gram 在2013年由 Mikolov, Sutskever and Chen 提出，用于找到word embeddings that are useful for predicting surrounding words。skip-gram的目标函数是 最大化log probabilities, 最后可以得到每个word的embedding。2014 年， levy & Goldberg 证明了skip-gram word embedding模型等价于分解 shifted positive PMI word-context 矩阵，即： shifted PPMI = W*C, 其中W矩阵的每行就是每个word的embedded vector。

我们上面提到： SVD 也可以对PPMI矩阵分解，即： PPMI = UDV’，其中 W = UD矩阵的每一行是一个word的embedding vector。既然， skip-gram 和 SVD 都是对同一个矩阵分解，那么 为什么一般情况下， skip-gram 在 word analogy, word similarities 等等tasks上的performance 会好于 SVD呢？ skip-gram分解的过程是symmetric的，即： W,C 都是任意矩阵， 它们不正交，而SVD得到的U，V矩阵是正交的，而且SVD得到的word embedding 是 UD， context embedding 是v， 这也是一种non-symmetric 的表征； 还有很多原因影响到了skip-gram 和 SVD在实际中不同的performance, 比如 context distribution smoothing, dynamic context window 等等， 具体参照 Levy et al. 2015的文章： Improving distributional similarity with lessons learned from word embeddings.

我们这里描述了3中常见的、流行的word embedding 方法， 其中PPMI是直接用 word-context 矩阵的每行 描述每个word的embedding, 而 LSI （SVD） 和 skip-gram是对PPMI矩阵的分解，然后用低维空间中的向量来描述每个word。这三者的关系犹豫：用原始的向量描述每个点，还是用PCA降维后的低维向量来描述每个点。总之，PPMI，LSI & skip-gram是基于相同的input 矩阵的，不同的是它们的优化方法。那么我们可想而知，一种embedding 方式会明显好于其它的吗？其余的吗？ 答案是否定的，之所以skip-gram一般情况下会有好与其余方式的结果， 正是因为skip-gram优化过程中用了很多hyper-parameters, 它的好的performance不用来自模型本身（因为它实质也是矩阵分解），而是hyper-parameter tuning的结果。具体参照 Levy et al. 2015的文章： Improving distributional similarity with lessons learned from word embeddings.

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