梯度 方向导数 偏导数 导数 等值线

梯度出现在 高等数学下册 的 第九章:多元函数微分法及其应用  第七节: 方向导数与梯度中;(讲的非常清楚)

在讲到这个概念的时候,也是从二元函数开始入手,并没有讨论一元的情况,所以根据我的理解,梯度是一个出现在多元函数里面的概念,不存在一元的讨论里面;

同理,偏导数和方向导数只存在于多元函数的情况下,一元函数不会去讨论这些;

以下图来自以同济6版高数。

一、梯度

1)导数

对于一元函数而言,对某一点沿着唯一的一个自变量方向的变化率,就是导数。

2)偏导数

对于多元函数而言,对于某一点沿着每个自变量的方向都有一个变化率,这个就是偏导数;

偏导数几何意义的解释:

3)方向导数   对于多元函数而言,仅研究沿着坐标轴的变化率是不够的,还需要知道沿着除坐标轴方向之外的其他方向的变化率,这个就是方向导数;

4)梯度

对于梯度和方向导数的关系:

以上说明,梯度是一个矢量,方向是该点处方向导数最大的方向,大小是此方向的方向导数的值; 5)等值线 对于f(x,y)=c,这是函数f(x,y)的一条值为c的等值线:

注:等值线上某点的梯度方向就是等值线在该点的法线方向,大小即该点法线方向的方向导数;

以上理解有误的地方十分欢迎指正

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