梯度 方向导数 偏导数 导数 等值线

梯度出现在 高等数学下册 的 第九章：多元函数微分法及其应用  第七节： 方向导数与梯度中；（讲的非常清楚）

在讲到这个概念的时候，也是从二元函数开始入手，并没有讨论一元的情况，所以根据我的理解，梯度是一个出现在多元函数里面的概念，不存在一元的讨论里面；

同理，偏导数和方向导数只存在于多元函数的情况下，一元函数不会去讨论这些；

以下图来自以同济6版高数。

一、梯度

1）导数

对于一元函数而言，对某一点沿着唯一的一个自变量方向的变化率，就是导数。

2）偏导数

对于多元函数而言，对于某一点沿着每个自变量的方向都有一个变化率，这个就是偏导数；

偏导数几何意义的解释：

3）方向导数 　　对于多元函数而言，仅研究沿着坐标轴的变化率是不够的，还需要知道沿着除坐标轴方向之外的其他方向的变化率，这个就是方向导数；

4）梯度

对于梯度和方向导数的关系：

以上说明，梯度是一个矢量，方向是该点处方向导数最大的方向，大小是此方向的方向导数的值； 5）等值线 对于f(x,y)=c，这是函数f(x,y)的一条值为c的等值线：

注：等值线上某点的梯度方向就是等值线在该点的法线方向，大小即该点法线方向的方向导数；

以上理解有误的地方十分欢迎指正