非对称加密技术- RSA算法数学原理分析

非对称加密技术,在现在网络中,有非常广泛应用。加密技术更是数字货币的基础。

所谓非对称,就是指该算法需要一对密钥,使用其中一个(公钥)加密,则需要用另一个(私钥)才能解密。 但是对于其原理大部分同学应该都是一知半解,今天就来分析下经典的非对称加密算法 - RSA算法。 通过本文的分析,可以更好的理解非对称加密原理,可以让我们更好的使用非对称加密技术。

题外话: 并博客一直有打算写一系列文章通俗的密码学,昨天给站点上https, 因其中使用了RSA算法,就查了一下,发现现在网上介绍RSA算法的文章都写的太难理解了,反正也准备写密码学,就先写RSA算法吧,下面开始正文。

RSA算法原理

RSA算法的基于这样的数学事实:两个大质数相乘得到的大数难以被因式分解。 如:有很大质数p跟q,很容易算出N,使得 N = p * q, 但给出N, 比较难找p q(没有很好的方式, 只有不停的尝试)

这其实也是单向函数的概念

下面来看看数学演算过程

  1. 选取两个大质数p,q,计算N = p q 及 φ ( N ) = φ (p) φ (q) = (p-1) * (q-1) 三个数学概念: 质数(prime numbe):又称素数,为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。 互质关系:如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系(coprime)。 φ(N):叫做欧拉函数,是指任意给定正整数N,在小于等于N的正整数之中,有多少个与N构成互质关系。 如果n是质数,则 φ(n)=n-1。 如果n可以分解成两个互质的整数之积, φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)。即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。
  2. 选择一个大于1 小于φ(N)的数e,使得 e 和 φ(N)互质 e其实是1和φ(N)之前的一个质数
  3. 计算d,使得de=1 mod φ(N) 等价于方程式 ed-1 = k φ(N) 求一组解。 d 称为e的模反元素,e 和 φ(N)互质就肯定存在d。 模反元素是指如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得ab被n除的余数是1,则b称为a的模反元素。 可根据欧拉定理证明模反元素存在,欧拉定理是指若n,a互质,则:

a^φ(n) ≡ 1(mod n) 及 a^φ(n) = a * a^(φ(n) - 1), 可得a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。

  1. (N, e)封装成公钥,(N, d)封装成私钥。 假设m为明文,加密就是算出密文c: m^e mod N = c (明文m用公钥e加密并和随机数N取余得到密文c) 解密则是: c^d mod N = m (密文c用密钥解密并和随机数N取余得到明文m) 私钥解密这个是可以证明的,这里不展开了。

加解密步骤

具体还是来看看步骤,举个例子,假设Alice和Bob又要相互通信。

  1. Alice 随机取大质数P1=53,P2=59,那N=53*59=3127,φ(N)=3016
  2. 取一个e=3,计算出d=2011。
  3. 只将N=3127,e=3 作为公钥传给Bob(公钥公开)
  4. 假设Bob需要加密的明文m=89,c = 89^3 mod 3127=1394,于是Bob传回c=1394。 (公钥加密过程)
  5. Alice使用c^d mod N = 1394^2011 mod 3127,就能得到明文m=89。 (私钥解密过程)

假如攻击者能截取到公钥n=3127,e=3及密文c=1394,是仍然无法不通过d来进行密文解密的。

安全性分析

那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?

123

ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。  φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)。  n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q。

如果n可以被因数分解,d就可以算出,因此RSA安全性建立在N的因式分解上。大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。 只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。

补充模运算规则

  1. 模运算加减法: (a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p (a - b) mod p = (a mod p - b mod p) mod p
  2. 模运算乘法: (a b) mod p = (a mod p b mod p) mod p
  3. 模运算幂 a ^ b mod p = ((a mod p)^b) mod p

原文发布于微信公众号 - 深入浅出区块链技术(blockchaincore)

原文发表时间:2017-11-16

本文参与腾讯云自媒体分享计划,欢迎正在阅读的你也加入,一起分享。

发表于

我来说两句

0 条评论
登录 后参与评论

相关文章

来自专栏数据结构与算法

BZOJ1004: [HNOI2008]Cards(Burnside引理 背包dp)

  小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有 多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步...

723
来自专栏HansBug's Lab

2953: [Poi2002]商务旅行

2953: [Poi2002]商务旅行 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MB Submit: 8  Solved: 8...

3465
来自专栏数据结构与算法

MatrixTree速成

前言 MatrixTree定理是用来解决生成树计数问题的有利工具 比如说这道题 MatrixTree定理的算法流程也非常简单 我们记矩阵A为无向图的度数矩阵 ...

3127
来自专栏程序猿

数据加密之加密算法RSA公钥加密系统

本来想写一下SQL注入来着,还是写一下这个可爱的算法吧。 加密算法有多中,md5等多中加密算法,但是RSA算法不知各位有没有听说...

34810
来自专栏数据魔术师

基础算法 | 关于图论中最小生成树(Minimum Spanning Tree)那些不可告人的秘密

最近双11又快到了 有女朋友的忙着帮女朋友清空购物车 有男朋友的忙着叫男朋友帮清购物车 而小编就比较牛逼了 小编沉迷学习,已经无法自拔。 那么今天小编又给大家带...

3945
来自专栏灯塔大数据

每周学点大数据 | No.14 图论基础回顾

No.14期 图论基础回顾 Mr. 王:我们再讲一个时间亚线性算法——平面图直径的求解。平面图是图论中的一个概念,在大数据算法的很多地方都会涉及图的相关内容,...

3498
来自专栏阮一峰的网络日志

RSA算法原理(二)

上一次,我介绍了一些数论知识。 有了这些知识,我们就可以看懂RSA算法。这是目前地球上最重要的加密算法。 ? 六、密钥生成的步骤 我们通过一个例子,来理解RSA...

3326
来自专栏ACM算法日常

最短路(Floyd算法的动态规划本质)- HDU 2544

Floyd–Warshall(简称Floyd算法)是一种著名的解决任意两点间的最短路径(All Paris Shortest Paths,APS...

541
来自专栏小尘哥的专栏

能买几颗糖??

Q:又来买糖,兜里装了一块零一分,即(¥1.01),,糖果也涨价了,变成0.56元一个,问买一个之后兜里还剩多少钱?

842
来自专栏ACM算法日常

素数判定(素数)- HDU 2012

刚学编程的时候,我们大多需要做的一道题,那就是用C语言来判定一个数是否是素数。那时候很自然的会想到,对于数n,直接遍历一下n以下的数x,如果n%...

481

扫码关注云+社区